Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ
Первая глава книги посвящена топологии критической точки голоморфной функции, третья глава посвящена ее анализу. Основной объект исследования — интеграл голоморфной формы, определенной в окрестности критической точки, по циклу," лежащему в многообразии уровня функции и исчезающему в критической точке. Мы изучаем изменение интеграла при непрерывной деформации цикла из одного многообразия уровня в другое. Мы показываем, что асимптотическое поведение таких интегралов при деформации циклов в критическую точку содержит информацию о самых разнообразных объектах, связанных с критической точкой.
В § 10 изложены простейшие свойства интегралов (голоморфная зависимость от параметров, разложения в ряды, связь с группой монодромии). В § 11 описано взаимодействие асимптотик интегралов по циклам с асимптотиками интегралов метода перевала, для которых голоморфная функция служит фазой (в частности, с асимптотиками осциллирующих интегралов). В § 12 обсуждаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции, заданные интегралами голоморфной формы по циклам, непрерывно зависящим от параметров. § 13 посвящен обсуждению свойств коэффициентов асимптотических разложений интегралов голоморфных форм по циклам, непрерывно зависящим от параметров. В § 13 определена смешанная структура Ходжа конечнократной критической точки голоморфной функции. В § 14 обсуждаются взаимодействия смешанной структуры Ходжа критической точки с другими характеристиками критической точки. В § 15 с помощью интегралов построены отображения базы версальной деформации критической точки в исчезающие в точке когомологии. Эти отображения переносят структуры, имеющиеся в когомологиях, на базу версальной деформации.
§ 10. Простейшие свойства интегралов
В параграфе доказывается голоморфная зависимость интеграла от параметров; объясняется связь ветвления интеграла с группой монодромии гомологий; доказывается разложимость интеграла в ряд в окрестности выделенного значения параметра.
Отметим важность определенных в пп. 10.3.А, 10.3.Г понятий специализации развертки деформации ростка голоморфной функции и расслоения Милнора деформации ростка голоморфной функции. 196
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
Следствие 1. Существует разрешение особенностей критической точки в начале координат многочлена f+, вес которого больше показателя осцилляции.
Действительно, таким разрешением особенностей является разрешение, указанное в теореме 8.2 (см. также теорему 8.3).
Следствие 2. Удаленность многогранника Ньютона критической точки в начале координат многочлена f+ больше показателя осцилляции.
Доказательство. П. 2 очевиден. Пп. 1, 5 проверяются непосредственным вычислением. Докажем п. 3 (п. 4 доказывается аналогично). Сделаем замену v = xs + x^ + xf + xt + x% + x%, тогда /+ =.(4 + xt + xt + xir + + + xg + (X4-(х? + xl +xl +xi)) v. Сделаем замену U = Xi—(х\ + х\ + х\ + xi), а затем v = s + t, U = S—t, тогда f = F(x1, х2, l)+s2—t2, где F—функция из примера 1. Теперь п. 3 следует из теоремы 1 и леммы 1. ГЛАВА III
ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ
Первая глава книги посвящена топологии критической точки голоморфной функции, третья глава посвящена ее анализу. Основной объект исследования — интеграл голоморфной формы, определенной в окрестности критической точки, по циклу," лежащему в многообразии уровня функции и исчезающему в критической точке. Мы изучаем изменение интеграла при непрерывной деформации цикла из одного многообразия уровня в другое. Мы показываем, что асимптотическое поведение таких интегралов при деформации циклов в критическую точку содержит информацию о самых разнообразных объектах, связанных с критической точкой.
В § 10 изложены простейшие свойства интегралов (голоморфная зависимость от параметров, разложения в ряды, связь с группой монодромии). В § 11 описано взаимодействие асимптотик интегралов по циклам с асимптотиками интегралов метода перевала, для которых голоморфная функция служит фазой (в частности, с асимптотиками осциллирующих интегралов). В § 12 обсуждаются дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют' функции, заданные интегралами голоморфной формы по циклам, непрерывно зависящим от параметров. § 13 посвящен обсуждению свойств коэффициентов асимптотических разложений интегралов голоморфных форм по циклам, непрерывно зависящим от параметров. В § 13 определена смешанная структура Ходжа конечнократной критической точки голоморфной функции. В § 14 обсуждаются взаимодействия смешанной структуры Ходжа критической точки с другими характеристиками критической точки. В § 15 с помощью интегралов построены отображения базы версальной деформации критической точки в исчезающие в точке когомологии. Эти отображения переносят структуры, имеющиеся в когомологиях, на базу версальной деформации.
§ 10. Простейшие свойства интегралов
В параграфе доказывается голоморфная зависимость интеграла от параметров; объясняется связь ветвления интеграла с группой монодромии гомологий; доказывается разложимость интеграла в ряд в окрестности выделенного значения параметра.
