Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 97

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 160 >> Следующая


Теорема 4 (см. [14, 185]). Интеграл голоморфно зависит от (t, У)-

Доказательство теоремы фактически такое же, как доказательство теоремы 1. Для проведения доказательства нам понадобится понятие кограничного оператора Jlepe, которое мы уже неявно использовали при формулировке леммы 1.

Пусть M — голоморфное многообразие, N — его голоморфное подмногообразие коразмерности 1. Тогда для любого I имеется естественный гомоморфизм H1 (N) ->- Hl+i (M\N), называемый ко-граничным оператором JIepe. Он определяется следующим образом. Выберем трубчатую окрестность подмногообразия в многообразии. Рассмотрим проекцию на подмногообразие границы трубчатой окрестности. Проекция — локально тривиальное расслоение со слоем, являющимся окружностью. Рассмотрим класс гомологий на подмногообразии и представляющий его цикл. Рассмотрим прообраз цикла на границе трубчатой окрестности. Это — цикл, размерность которого на 1 больше, чем размерность исходного § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ

207

цикла. По определению этот цикл, рассматриваемый как цикл в дополнении к подмногообразию, представляет образ исходного класса гомологий при кограничном операторе JIepe. Легко видеть, что класс гомологий этого цикла в дополнении не зависит от выбора цикла, представляющего на подмногообразии исходный класс гомологий, и от выбора трубчатой окрестности.

Доказательство теоремы 4. Стандартная теорема анализа гласит: если заданы цепь и форма, зависящая голоморфно от параметров, то интеграл формы по цепи зависит от параметров голоморфно. Для применения этой теоремы нужно интегралы заданной формы по циклам семейства, лежащим в разных гиперповерхностях, представить как интеграл новой формы по одной и той же цепи. Роль новой формы играет исходная форма, умноженная на dF(-, y)/(F (•, у)—t). Роль общей цепи играет цикл, представляющий одновременно образы всех классов гомологий циклов семейства относительно кограничных операторов Лере пар, состоящих из гиперповерхности уровня и Cn (ср. лемму 1).

Рассмотрим границу трубчатой окрестности гиперповерхности Xita, Ца) в С". Рассмотрим на границе я-мерный цикл да, представляющий образ класса гомологий цикла да (t0, у0) на гиперповерхности при кограничном операторе Лере. Этот же цикл представляет образ класса гомологий цикла a(t, у) на гиперповерхности Xllt j,, при кограничном операторе Лере, если точка (t, у) достаточно близка к (t0, 1/0).

Имеет место интегральное представление

*(*> S dF{'' (0/(^(-. у)—о. о)

da(t,y)

где через да (t, у) обозначен образ класса гомологий цикла a (t, у) на X{ty) при кограничном операторе Лере. (Отметим, что подынтегральное выражение в правой части замкнуто в C"\X(tiJ/), поэтому правый интеграл не зависит от цикла, представляющего класс да(t, у).) Доказательство приведенной формулы совпадает с доказательством леммы 1.

Таким образом, для всех (t, у), близких к (f0, у0), имеет место интегральное представление

7^' I dF( ' У)А«>(У)/(^(-. У) — *)-

да

Теперь, применяя стандартную теорему анализа, получаем теорему 4.

Далее мы докажем голоморфную зависимость от параметров интегралов формы Гельфанда — Лере по непрерывному семейству циклов.

Б. Форма Гельфанда — Лере в комплексном случае определяется так же, как и в вещественном; см. п. 7.1. 223 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl

Пусть / —• функция, голоморфная в области пространства С". Пусть ті — голоморфная дифференциальная п-форма в той же области. Рассмотрим точку области, не являющуюся критической точкой функции.

Лемма 3. Существует голоморфная дифференциальная (п—1)-форма г|), заданная в окрестности точки, для которой r\=df Ограничение этой формы на гиперповерхность некритического уровня функции не зависит от выбора формы ip, удовлетворяющей предыдущему равенству.

Ограничение формы гр на гиперповерхность некритического уровня функции называется формой Гельфанда — Jlepe формы ц и обозначается через ц/df.

Доказательство леммы см. в п. 7.1.

В. Интегралы формы Гельфанда — Лере. Вернемся к ситуации, описанной в начале пункта. Предположим, что на пространстве Cn задана голоморфная дифференциальная п-форма ті, голоморфно зависящая от параметров у:

г] = й (X1, . .., хп, ух, ..., yk) CZx1A • • • Adxn.

Таким образом, для фиксированных значений параметров на пространстве заданы голоморфная функция и голоморфная форма старшей размерности. Следовательно, на каждой гиперповерхности некритического уровня задана форма Гельфанда — Лере. Рассмотрим ее интегралы по циклам, выделенным на гиперповерхностях уровня:

ЦІ. У)= S 4(y)/dxF(., у), a(t,m

где dx — дифференциал по переменным х.

Теорема 5 (см. [14, 185]). Этот интеграл голоморфно зависит от (t, у).

Теорема 5 вытекает из интегрального представления

7^=ST I ч (10/(^(-. y)-t) (2)

за {t, у)

(ср. с (1)), его доказательство аналогично доказательству леммы 1.

Г. Производные функции, заданной интегралом, полезно представлять в виде интегралов по тем же циклам. Такие формулы доставляют интегральные представления (1). (2).
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed