Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для сокращения записей будем в следующих формулах предполагать, что значения параметров форм такие же, как значения параметров циклов. Нижний индекс / у формы будет означать, что коэффициенты формы продифференцированы ПО У]. § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
209
Согласно (1), (2) мы имеем -W- S J dF/\<a/(F t)z =
а«. У) dO(t, у)
= i J da>/(F-t) = J dxco/dxF, (3)
г/) o(<, y)
Wj J Ю =
qit.y)
= 2HI J (dF A(0 J/(F—t) + dFjfwKF—^—Fj dF Лоз/(Ґ—O2) = = І І (dF h^jl(F-t)-Fjdx(ol{F—t)) =
dO(t, y)
= J (Vj-Fjd3PldxF). (4)
<i(f, г/)
Второе равенство в этих формулах доказывается заменой формы на когомологичную.
10.3. Ветвление интеграла и разложение интеграла в ряд. Чтобы исследовать аналитические продолжения голоморфной функции, заданной интегралом, нужно уметь непрерывно деформировать циклы, по которым интегрируется форма, в гиперповерхности далеких некритических уровней функции. Для этого достаточно, чтобы совокупность гиперповерхностей некритических уравнений образовала локально тривиальное расслоение. Мы не будем разбирать максимально общую ситуацию, в которой это свойство имеет место (см. п. 1.1). Ограничимся локальным случаем, который будем разбирать в дальнейшем.
А. Расслоение Милнора деформации критической точки голоморфной функции. Пусть задан росток деформации изолированной критической точки голоморфной функции. (Обычно нас будут интересовать два крайних случая, в которых деформация миниверсальна или тривиальна.) Расслоением Милнора называется расслоение, слоями которого являются локальные неособые гиперповерхности уровня функций, составляющих деформацию. Приведем точное определение.
Пусть f: (С, 0)—0)—росток голоморфной функции, имеющий конечнократную критическую точку. Пусть F: (C" X Cft, 0 х 0) —> —»¦ (С, 0)—его деформация, т. е. росток голоморфной функции со свойствами:. F(-, 0) = f. Рассмотрим развертку деформации, т. е. росток отображения G: (С"X Cft, 0x0) —(СX Cft, 0x0), заданный формулой (х, у) *->(F(x, у), у).
Пусть F, G—представители ростков F, G.
Для малых р>0, т)>0, o > 0 рассмотрим в пространствах О, С, Cfe шары соответствующих радиусов: Bp = {х ^.Ga JjJx]) < р}, 210 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
#, = {иеС||и|<т]}, Bk0 = {у € C411 yjj < б}. Положим S = ^xBg, X = (В%ХВ§) П G-1 (S), Xs=: XnG-1 (s) для s?S; см. рис. 73.
Выберем число р настолько малым, что при всех г, О < г ^ р, граница dB" шара радиуса г трансверсально пересекает гиперповерхность нулевого уровня функции F (•, 0). Выберем числа г], б
настолько малыми по сравнению с числом р, что для любой точки (и, у) ? S граница дВ% шара радиуса р трансверсально подходит к гиперповерхности уровня и функции F (¦, у). Тройку чисел р, т], б с указанными свойствами назовем допустимой.
Если тройка чисел допустима, то отображение X—s-5, являющееся ограничением отображения G, назовем специализацией развертки деформации. Далее ограничения отображений будем обозначать теми же буквами, что исами отображения.
Обозначим через S множество критических значений (дискриминант) отображения G: X—>-S, т. е. множество {s (= S | Xi особо}. Если тройка чисел р, rj, б допустима, то ограничение отображения G: X—»-S на дополнение к прообразу множества критических значений—гладкое локально тривиальное расслоение (см. п. 1.1), т. е. гладким локально тривиальным расслоением является отображение G: X' — S', где S' =S\2, X'= X\G~1 (Я). Это расслоение называется расслоением Милнора деформации (более точно, расслоением Милнора специализации развертки деформации).
Слой расслоения Милнора является (п—1)-мерным комплексно-аналитическим многообразием с краем (и соответственно (2п—2)-мерным вещественным многообразием). Согласно теореме Милнора [79] (см. также п. 2.1) слой гомотопически эквивалентен букету сфер средней размерности, число р этих сфер равно кратности исходной критической точки. Таким образом,
Рис. 73.
Xt
Sn-1 V ... V S"-1 при s Є S'.
Дифференцируемый тип слоя расслоения Милнора не зависит от выбора допустимой тройки. Для разных допустимых троек ростки множеств 2, S' в начале координат пространства S одинаковы. Если первое число первой тройки меньше первого числа второй тройки, то для всех точек базы, близких к началу координат, слой первого расслоения вложен в слой второго расслоения. Более того, первый слой является деформационным ретрактом второго слоя. Поэтому вложение первого слоя во второй индуцирует изо- § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
211
морфизм групп гомологий и когомологий слоев расслоений Милнора, отвечающих разным допустимым тройкам. В этом смысле гомологии и когомологии слоя расслоения Милнора определены инвариантно.
Нас будут интересовать группы (п—1)-мерных гомологий и когомологий слоя расслоения Милнора. Они такие же, как у букета сфер, и являются свободными модулями над кольцом коэффициентов. Их размерности равны кратности исходной критической точки, если п—1>0, и на 1 больше кратности в случае п—1=0 (букет fx нульмерных сфер — это ja+1 точка). Мы всегда (без дальнейших напоминаний) будем рассматривать группы приведенных *) гомологий и когомологий. Ранг группы приведенных (ко)гомологий вне зависимости от п равен кратности критической точки. При rC> 1 приведенные (п—1)-мерные (ко)гомологии совпадают с обычными.
