Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
a k=o
где числовые коэффициенты akiа являются обобщенными функциями амплитуды. Обобщенная функция afe,a при а > ? (л:) + ? (у) тождественно равна нулю, поскольку в пространстве амплитуд всюду плотное множество образуют линейные комбинации амплитуд, разлагающихся в произведение функции на IR" и функции на IRi. Таким образом, ? (хх у) = ? (x) + ? (у). Аналогично доказывается равенство К (х X у) = К (X) + К (у).
Следствие. Показатель особости и его кратность равны у стабильно эквивалентных критических точек.
Б. Вычисления показателей особости в таблицах п. 6.1.И. Показатели особости и их кратности для критических точек таблиц вычисляются с помощью теорем 8.3 и 8.11. Теоремы 8.3 и 8.11 применимы к критическим точкам, классифицированным в главе 2 ОДО-1, поскольку каждая из указанных там критических точек либо имеет IR-невырожденную главную часть ряда Тейлора, либо, если это функция двух переменных, записана в приспособленной системе координат. Сформулированное утверждение несложно проверяется в каждом отдельном случае. После этого вычисление сводится к вычислению удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора.
9.2. Примеры.
Пример 1. Положим F (хг, ха, X3, у) = (ух\ + X1-f- +
+ Хх+ где у—вещественный параметр, р ^ 9. Обозначим через Py показатель осцилляции критической точки в начале координат в R3 функции F(-, у).
Теорема 1 (см. [18]). Семейство F функций на IR3, зависящих от параметра у, обладает следующими свойствами.
1. Функция F (•, у) при всех значениях параметра у имеет конечнократную критическую точку в начале координат.
2. ?„ = —5/8.
3. При у>0 Ps, = -3/4.
4. При у < 0 ?j, > — (1/2-f-у (р)), где функция у (р) стремится к нулю при р—^+оо.
5. Удаленность критической точки в начале координат функции F(у) при уФ 0 равна —3/4.
6. Существует окрестность U начала координат в R8 и окрестность V начала координат в R такие, что показатель осцилляции функции F (•, у), у (E.V, в любой ее критической точке X ? U\О не меньше — 1.
Следствие 1. Для критической точки в начале координат функции F(-, 0) при достаточно большом р равномерный показа- §9]
Показатели особости, примеры
195
тель осцилляции больше индивидуального показателя осцилляции.
Из доказательства теоремы 1 следует, что такое явление наблюдается уже при р=9.
Следствие 2. Критические точки в началах координат функций F (-, у) и F (•, —у) при р=41 комплексно-эквивалентны (т. е. переводятся одна в другую голоморфным диффеоморфизмом пространства G3), однако имеют разные показатели осцилляции.
Следствие 3. Удаленность критической точки в начале координат функции F(•, у) при г/<0 меньше показателя осцилляции.
Доказательство. Утверждение 1 проверяется прямым вычислением. Утверждения 2, 3 следуют из теоремы 8.3 в силу R-невырожденности главной части многочлена F (•, у) при указанных у. Утверждение 5 следует из того, что удаленность критической точки в начале координат функции і*!+*!+*| равна —3/2.
Для доказательства утверждения б достаточно заметить, что при малых у у близких к нулю критических точек х координаты
d2F
хй, xa равны нулю. Это, как легко видеть, влечет дх дх3 ^x' =
d2F d2F 2
—т{х,у)фО, —г,-(х, у) =/= 0, т.е. ранг второго дифференциала
дхл дхі
не меньше двух. Согласно обобщенной лемме Морса в окрестности такой критической точки функция приводится к виду ф (U1)±«2+"з-Для этой функции утверждение б следует из теоремы 8.3.
Доказательство п. 4 основано на теореме 7.5. Строится разрешение особенностей критической точки в начале координат, и показывается, что вес этого разрешения больше, чем —(1/2+7 О3))» где у (р) стремится к нулю при р-> + оо. При построении разрешения сначала делается а-процесс в начале координат, а затем р/2 раз делается а-процесс с центром в кривой, являющейся пересечением прообраза начала координат и собственного прообраза поверхности нулевого уровня функции F. Возникшая последней компонента имеет достаточно высокий вес, что и доказывает п. 4; подробнее см. в [18].
Пример 2. Пусть /V = x! + *5+^+a:§ + (x4 — (xf + xj +
+ JtS + Xt)) х5, = tf + -b*g + (? — (—*ї + *} + *5 + X23))Xs.
Теорема 2. При достаточно большом р многочлены /± об-ладают следующими свойствами.
1. Их главные части R-невырождены.
2. Их многогранники Ньютона совпадают.
3. Показатель осцилляции в начале координат многочлена /+ равен —7/4.
4. Показатель осцилляции в начале координат многочлена f_ не меньше чем —(1/2+1+7 (р)), где у (р) стремится к нулю при р -»-—>- +оо.
5. Удаленность многогранника Ньютона многочленов меньше —1. 196
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
Следствие 1. Существует разрешение особенностей критической точки в начале координат многочлена f+, вес которого больше показателя осцилляции.
Действительно, таким разрешением особенностей является разрешение, указанное в теореме 8.2 (см. также теорему 8.3).
Следствие 2. Удаленность многогранника Ньютона критической точки в начале координат многочлена f+ больше показателя осцилляции.
Доказательство. П. 2 очевиден. Пп. 1, 5 проверяются непосредственным вычислением. Докажем п. 3 (п. 4 доказывается аналогично). Сделаем замену v ~ X5 + х4 + X1 + X1 + х% + xi, тогда f+ = (х\ + xf + xl + X23)* + х; + х? + xf +(х4—(xf + xt+ xl +xi)) у. Сделаем замену U = Xi—(xl + x* + xl + xl), а затем v = s + t, u = s—t, тогда J = F (xlt х2, х3, l)+s2—Р, где F—функция из примера 1. Теперь п. 3 следует из теоремы 1 и леммы 1. ГЛАВА III
