Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3, только вместо ссылок на теорему 7.5 нужно ссылаться непосредственно на теорему 7.3. Отметим, что п. 2 теоремы является аналогом п. 3, а) теоремы 3. Справедливы аналоги пп. 3, б), 3, в), 4, 5.
В заключение разберем случай вырожденной главной части ряда Тейлора.
Теорема 5 (см. [18]). Пусть фаза — аналитическая функция в окрестности начала координат. Предположим, что многогранник Ньютона ряда Тейлора фазы в начале координат далекий. Тогда показатель осцилляции фазы в начале координат не меньше удаленности этого многогранника.
Следствие 1. Вес разрешения особенностей фазы больше —1.
См. теорему 7.5.
Следствие 2. Для фазы выполнены утверждения га. 3 теоремы 7.5.
Следствие 3. Пусть фаза — функция двух переменных, имеющая вырожденную критическую точку в начале координат. Тогда показатель осцилляции этой критической точки равен весу ее разрешения особенностей. 188
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
Действительно, в этом случае легко подобрать систему координат, в которой удаленность многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы больше —1.
Следствие 4. Удаленность критической точки не больше показателя осцилляции, если удаленность больше —1 (см. определение в п. 6.2.Г).
Отметим, что теорема 6.5 утверждает равенство удаленности и показателя осцилляции для всех критических точек фаз двух аргументов.
Доказательство теоремы. Рассмотрим многообразие X, подчиненное многограннику Ньютона, и ассоциированную с ним проекцию л: X —»- IR". С помощью проекции поднимем фазу на многообразие и разрешим все особенности поднятой фазы на прообразе начала координат. А именно, по теореме Хиронаки 1106] существуют новое многообразие Y и отображение ф: Y-*- X, обладающие свойством: отображение яоф разрешает особенности фазы в начале координат. У фазы, поднятой на X, есть компонента гиперповерхности нулевого уровня с весом, равным удаленности многогранника Ньютона (см. доказательство теоремы 8.3). Прообраз этой компоненты на Y имеет тот же вес. Теперь теорема следует из п. 3 теоремы 7.5.
Б. Обобщение теоремы 3 на интегралы Лапласа. Теорема 6. Рассмотрим интеграл Лапласа
\ rT'W(f (x)dx1.. .dxn.
R>
Предположим, что фаза является аналитической функцией в окрестности начала координат и имеет в начале координат локальный минимум. Согласно теореме 7.6 при х —+оо интеграл Лапласа разлагается в асимптотический ряд
е-*^ 2ak,ax«(\nx)k.
ft=o а
Предположим, что ряд Тейлора фазы в начале координат имеет R-невырожденную главную часть. Рассмотрим многогранник Ньютона ряда Тейлора фазы. Рассмотрим простой веер, подчиненный этому многограннику Ньютона. Тогда асимптотики интеграла Лапласа обладают свойствами асимптотик осциллирующего интеграла с той же фазой, указанными в теореме 3 в пп. 1, 3, 4, 5.
Доказательство теоремы 6 получается из доказательства теоремы 3 заменой ссылок на теорему 7.5 ссылками на теорему 7.6.
Следствие теоремы (ср. со следствием теоремы 7.6). Для каждого положительного t обозначим через V (t) объем множества тех точек, в которых значение фазы меньше t. Согласно теореме 7.6 функция V при t—»- + 0 разлагается в асимптотический ряд 2 ata (In i)k. Утверждается, что порядок а мак-
а k §8] АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА JgQ
симального члена этого ряда равен взятой с минусом удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы в точке минимума (при условии R-невьірожденности главной части ряда Тейлора).
Замечание. Утверждение о том, что показатель старшего члена асимптотического ряда интеграла Лапласа равен удаленности многогранника Ньютона фаз, доказано В. А. Васильевым в [29] для случая, когда главная часть ряда Тейлора фазы R-не-вырождена и многогранник Ньютона пересекается с каждой координатной осью. Доказательство В. А. Васильева не использует разрешения особенностей.
В.Площадь поверхности уровня функции. Предположим, что в пространстве задана риманова метрика. Риманова метрика пространства задает риманову метрику на гиперповерхностях уровня функции. Риманова метрика на гиперповерхностях определяет форму (п—1)-мерного объема. Вычислим объем компактных многообразий уровня функции и рассмотрим асимптотику объема при стремлении уровня к критическому.
Теорема 7. П редположим, что аналитическая функция f имеет изолированную точку минимума и минимальное значение функции равно нулю. Г!редположим, что в пространстве задана аналитическая риманова метрика. Для малых положительных t обозначим через V (t) (п — \)-мерный объем многообразия уровня t. Тогда при t—>- + 0 функция V разлагается в асимптотический
п-і
ряд 2 2 (In t)k, в котором параметр а пробегает конеч-
а. ft= 0
ное множество арифметических прогрессий, составленных из положительных рациональных чисел. Если дополнительно известно, что R-невырождена главная часть ряда Тейлора функции f в точке минимума и R-невырождена главная часть ряда Тейлора функции (df, df) в точке минимума функции /, то порядок а максимального члена асимптотического ряда зависит только от многогранников Ньютона предыдущих рядов Тейлора и вычисляется по следующему правилу.
