Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Когомологии и гомологии слоя расслоения Милнора будут называться исчезающими в исходной критической точке.
Б. Ветвление интеграла. Пусть задан росток f: (С", 0) — —>-(€, 0) голоморфной функции, имеющий изолированную критическую точку. Пусть задана деформация F: (С"хСй, 0x0)—(С, 0) ростка f. Выделим допустимую тройку чисел р, т], б и рассмотрим отвечающие ей специализацию развертки и расслоение Милнора.
Предположим, что в одном из слоев расслоения Милнора выделен (п—1)-мерный целочисленный класс гомологий. Непрерывные деформации представляющего его цикла определяют семейство (п—1)-мерных целочисленных классов в слоях расслоения Милнора, которые непрерывно зависят от точки базы расслоения. Эта зависимость многозначна. Многозначность классов семейства описывается группой монодромии в (п—1)-мерных гомологиях слоя расслоения: если в базе выделен замкнутый путь и выделен один из классов гомологий семейства над начальной точкой пути, то при распространении этого класса в слои над точками пути класс гомологий, отвечающий конечной точке пути, получается из класса гомологий, отвечающего начальной точке пути, действием преобразования монодромии, отвечающего этому пути.
Предположим, что в окрестности начала координат в CnXC4 задана голоморфная дифференциальная (п—1)-форма. Предположим, что эта окрестность настолько велика, что содержит пространство расслоения Милнора. Рассмотрим интегралы формы по циклам семейства. Согласно теореме 4 эти интегралы задают многозначную голоморфную функцию на базе расслоения Милнора.
*) Напомним, что группой приведенных fe-мерных гомологий топологического пространства называется ядро отображения группы fe-мерных гомологий пространства в группу А-мерных гомологий точки, индуцированного отображением пространства в точку. Аналогично группой приведенных ^-мерных когомологий называется коядро отображения группы ft-мерных когомологий точки в группу А-мерных когомологий пространства. 212 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Ветвление этой функции описывается группой монодромии в (п—1)-мерных гомологиях слоя расслоения Милнора. Если со — форма, а (и, у)—класс гомологий семейства, лежащий в слое над точкой (и, у) ? S', у—замкнутый путь в базе расслоения с началом и концом в (и, у), My—отвечающее ему преобразование монодромии, то значение аналитического продолжения вдоль пути у
ветви функции, отвечающей интегралу J со, равно J со.
а (и, У) My а (а,7у)
Таким образом, ветвление голоморфных функций, заданных интегралами по исчезающим в критической точке классам гомологий, определяется топологией расслоения Милнора рассматриваемой деформации и, в конечном итоге, топологией расслоения Милнора версальной деформации исходной критической точки.
Замечания. 1. Группа монодромии в (п—1)-мерных гомологиях слоя расслоения Милнора версальной деформации критической точки называется группой монодромии критической точки. Группам монодромии критических точек посвящена глава 1. Всякий результат о группе монодромии можно рассматривать как результат о ветвлении соответствующих интегралов.
2. Предположим, что в окрестности начала координат в С" X C4 задана голоморфная дифференциальная п-форма т] (вместо (п—1)-формы, как ранее). Форма л определяет на каждом слое расслоения Милнора голоморфную (п—1)-форму f]/dxF (форму г\ и функцию F нужно ограничить на подпространства в X' вида у = const, которые являются областями в С", затем поделить форму на dxF). Рассмотрим интегралы формы т}IdxF по классам указанного выше семейства. Эти интегралы задают многозначную голоморфную функцию на базе расслоения Милнора (теорема 5). Ветвление этой функции, как и ветвление функции, заданной интегралами (п—1)-формы, определяется группой монодромии в (п — 1)-мерных гомологиях слоя расслоения Милнора. Можно начинать не с я-формы, а с (п-\-k)-формы, и делить ее не на dxF, а на dxF Д Ciyl Д ... Д dyh. В результате на каждом слое корректно определена голоморфная (п—1)-форма. Ее интегралы по классам семейства определяют голоморфную многозначную функцию на базе расслоения Милнора (теорема 5). Ветвление этой функции, как и предыдущих, определяется группой монодромии.
3. Если (п—1)-форма со определена в окрестности начала координат в CxC4, не включающей в себя пространство расслоения Милнора для заданных допустимых чисел р, т], б, то, вообще говоря, ее нельзя проинтегрировать по произвольному классу гомологий семейства. Однако ее можно проинтегрировать по классам семейства, лежащим в слоях над точками, расположенными достаточно близко к началу координат в CxCft. Это объясняется тем, что такие классы имеют представляющие циклы, расположенные в достаточно малой окрестности начала координат в С"хС4. Точнее, область § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
213
определения формы (сколь бы мала она ни была) содержит пространство расслоения.Милнора, определенного с помощью достаточно малых допустимых чисел, и теперь вложение слоя меньшего расслоения Милнора в слой большого расслоения Милнора индуцирует изоморфизм групп гомологий и когомологий (см. п. 11.3.А).
