Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
В. Разложение интеграла в ряд. Предположим, что в пространстве S (базе специализации) выделена комплексная прямая. Предположим, что прямая не содержится в множестве критических значений S. В этом случае пересечение прямой с множеством критических значений дискретно. Рассмотрим одну из точек пересечения. Мы докажем, что ограничение на прямую многозначной голоморфной функции, заданной интегралом голоморфной формы по циклам непрерывного семейства (см. п. Б), в окрестности выделенной точки пересечения прямой с S разлагается в ряд по дробным степеням параметра на прямой, коэффициентами которого служат многочлены от логарифмов параметра на прямой. Это утверждение — прямой аналог теоремы 2.
Обозначим через t локальную голоморфную координату на прямой с началом в выделенной точке пересечения. В малой окрестности точки пересечения выделим сектор a^arg t^Lb. Для каждого отличного от нуля значения параметра t, принадлежащего сектору, выделим базис O1(^)1 . . ., o?(t) целочисленных (я—1)-мерных гомологий слоя расслоения Милнора, лежащего над соответствующей точкой прямой, причем так, чтобы этот базис непрерывно зависел от точки прямой. Обозначим через M преобразование монодромии в гомологиях, отвечающее обходу параметра прямой по малому пути вокруг нуля «против часовой стрелки». (Напомним, что согласно теоремам 3.11, 3.12 собственные числа этого оператора являются корнями из 1 и размеры его жордановых клеток не превосходят п.) Пусть со — голоморфная дифференциальная (п—1)-форма, заданная на окрестности начала координат в С"X С4, содержащей пространство прообраза специализации деформации (см. определение в п. А). Тогда в указанном выше секторе определена вектор-функция
/<*)-( S CD, .... JcoV
Vor' (*) orH <0 /
Теорема 6 (см. [14, 146, 154, 166, 185, 187]). Эта вектор-функция разлагается в ряд 2 ata (In t)k. Ряд сходится, если
a, k
модуль параметра достаточно мал. Коэффициенты ряда — векторы пространства Cli. Числа а — неотрицательные рациональные числа. Все коэффициенты ak< 0 при k. > О равны нулю. Каждое число ос обладает свойством: ехр (2шсг)— собственное число оператора М. Коэффициент aki а равен нулю всякий раз, когда у жордановой формы оператора M нет блоков размеров k +1 и более с собственным числом ехр (2ягос). 214 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Замечание. Предположим, что прямая в базе S (о которой идет речь в теореме 6) является прямой значений функции F при фиксированном у и трансверсально пересекает дискриминант в точке, отвечающей невырожденной критической точке функции F при этом фиксированном у. В этом случае разложение, указанное в теореме 6, можно уточнить; см. лемму 12.2 на стр. 233.
Теорема 6 опирается на формулируемую ниже теорему 7 и выводится из нее так же, как теорема 2 из теоремы 3.
Теорема 7 (см. [185, 187, 188]). Существует натуральное N, для которого в указанном выше секторе имеют место неравенства
со
Oj(t)
const-I /= !,...,(I.
Более того, если в секторе выделен луч arg f=const, то существует конечный предел вектор-функции при стремлении параметра к нулю по лучу.
Мы не будем доказывать теорему 7 (см. [185] и замечания по поводу теоремы 3). У теоремы 7 есть уточнение (ср. с теоремой 3'), сформулируем его.
Сначала определим понятие семейства гомологий, исчезающих в выделенной точке пересечения прямой и дискриминанта 2 (ср. с определением в п. 11.1.В). Обозначим через Xt слой расслоения Милнора, лежащий над точкой прямой, в которой параметр равен t. Предположим, что на прямой выделен луч arg ?=const, и для каждого достаточно малого t, принадлежащего лучу, выделен класс гомологий cr(f)? Hn_1(Xt, Z), непрерывно зависящий от t. -Скажем, что это семейство гомологий является семейством исчезающих гомологий при стремлении параметра к нулю по лучу, если для каждого достаточно малого t класс а (і) принадлежит ядру естественного гомоморфизма
Hn^1 (Xt, Z)- Hn^1 ( U xa,z\.
Vseto,*] J
Если непрерывное семейство гомологий определено для параметров, принадлежащих сектору, то легко показать, что свойство быть семейством исчезающих гомологий не зависит от луча сектора.
Теорема 7 (см. [185]). Пусть непрерывное семейство гомологий определено для параметров, принадлежащих сектору. Предположим, что семейство является семейством исчезающих гомологий при стремлении параметра к нулю по одному из лучей
сектора. Тогда предел интеграла ^ со равен нулю при стремле-
<т(П
нии параметра к нулю по лучу.
Напомним, что существование конечного предела следует из теоремы 7. § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
215
Следствие теоремы 7'. Интеграл голоморфной формы по семейству исчезающих гомологий в каждом секторе разлагается в ряд 2 ak, сJa (In t)k> в котором все а положительны.
Г. Расслоение Милнора критической точки. Рассмотрим росток f: (Сл, 0) —>- (С, 0) голоморфной функции, имеющий изолированную критическую точку. Росток является собственной тривиальной деформацией. Рассмотрим для такой деформации объекты, введенные в предыдущих пунктах. А именно, рассмотрим специализацию f: X—»-5 ростка и соответствующее расслоение Милнора /: X'—>-S'.
