Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Правило. Рассмотрим многогранник Ньютона ряда Тейлора функции (df, df) в точке минимума функции f. Рассмотрим образ этого многогранника под действием гомотетии с коэффициентом 1/2 и центром в начале координат. Полученный многогранник сдвинем на вектор (1, . . ., 1). Рассмотрим второй многогранник, являющийся многогранником Ньютона ряда Тейлора функции / в точке минимума. Обозначим через k коэффициент вложения первого многогранника во второй. Тогда порядок а максимального члена асимптотического ряда равен IJk—-1.
Доказательство теоремы основано на том, что число — Wk является показателем максимального члена асимптотического ряда 190
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
интеграла Лапласа
J e-*f (x)y-(df, df) ф (х) dx, ... dx,
п
при х ->- +оо, если амплитуда ф тождественно равна 1 в малой окрестности точки минимума, и носитель амплитуды сосредоточен в малой окрестности точки минимума.
Г. Осциллирующие интегралы по полупространству. Рассмотрим осциллирующий интеграл по полупространству
где фаза и амплитуда — гладкие функции во всем пространстве. Предположим, что фаза — аналитическая функция в окрестности начала координат. Если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности начала координат и ограничение фазы на границу полупространства не имеет критической точки в начале координат, то при т->- +оо интеграл убывает быстрее любой степени параметра (теорема 6.1). Предположим, что ограничение фазы на границу имеет критическую точку в начале координат.
Теорема 8. Осциллирующий интеграл по полупространству разлагается в асимптотический ряд
если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности начала координат. Здесь параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, зависящих только от фазы и составленных из отрицательных рациональных чисел. Числовые коэффициенты ak_ а являются обобщенными функциями амплитуды. Носитель каждой обобщенной функции лежит в объединении критических множеств фазы и ограничения фазы на границу.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.5. Для доказательства нужно рассмотреть разрешение особенностей в начале координат функции X1/ (оно одновременно является разрешением особенностей функции /), а затем повторить рассуждения доказательства теоремы 7.5. В результате для осциллирующего интеграла по полупространству мы докажем утверждения пп. 1—5 теоремы 7.5 (единственного добавления требует п.5: он справедлив, если фаза не делится на X1).
Если начало координат является критической точкой ограничения фазы на границу, но не является критической точкой фазы, исследование асимптотик интеграла по полупространству сводится к исследованию осциллирующего интеграла по границе. Действи-
Xi > о
?txf (0) 2 12 afci а, (ф) Ta (In /)* при X >- + OO,
U_ Г\
а О §8] АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА 191
тельно, диффеоморфизмом, сохраняющим границу, фазу можно привести в виду Xi+/г(х2, . . ., хп). Теперь нужно интегрировать по частям по переменной X1.
Предположим, что фаза имеет критическую точку в начале координат. Предположим, что главная часть ряда Тейлора фазы в начале координат IR-невырождена.
Теорема 9. В сделанных предположениях асимптотики осциллирующего интеграла по полупространству обладают свойствами, указанными в пп. 1—5 теоремы 3.
Доказательство совпадает с доказательством теоремы 3.
- Рассмотрим еще один тип осциллирующих интегралов по полупространству, а именно, интегралы вида
S е'т/ (х> Ф (х) xIxli Лхг... dxn.
X1 > О
Здесь, как и ранее, фаза и амплитуда ф — гладкие функции во всем пространстве. Исследование таких интегралов сводится к исследованию рассмотренных ранее интегралов по полупространству с помощью замены X1=Z2. Сформулируем одно из полученных таким образом утверждений.
Теорема 10. Предположим, что фаза является аналитической функцией в окрестности начала координат. Предположим, что главная часть ряда Тейлора фазы в начале координат R-невырож-дена. Тогда показатель осцилляции фазы в начале координат для интегралов указанного типа определяется многогранником Ньютона ряда Тейлора фазы и равен взятой с минусом величине, обратной значению параметра точки пересечений прямой 2хі=х^=х3=... ...=xn=t, где t?R,u границы многогранника Ньютона, если значение больше 1.
Все заключения об асимптотиках осциллирующих интегралов по полупространству, сформулированные в этом пункте, справедливы для асимптотик интегралов Лапласа па полупространству.
8.4. Случай двух переменных. Согласно теореме 3 показатель осцилляции критической точки фазы равен удаленности многогранника Ньютона ее ряда Тейлора в некоторой системе координат, если в этой системе координат главная часть ряда Тейлора IR-невырождена и многогранник Ньютона далекий. Эта теорема применима к произвольной критической точке фазы, зависящей от одного аргумента. Если фаза зависит от двух и более аргументов, то указанная система координат существует не всегда (см. п. 6.2.Г). Все же случай фазы, зависящий от двух аргументов, удается разобрать до конца и доказать равенство показателя осцилляции и удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы в правильно выбранной системе координат. Правильно выбранная система координат называется приспособленной к фазе-, она определена в п. 6.2.Г. 192
