Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
Теорема 11 (см. [18]). Рассмотрим двойной осциллирующий интеграл
<\jeix^x)^>(x)dx1dx2.
Предположим, что фаза — аналитическая функция в окрестности своей вырожденной критической точки. Тогда
1. Показатель осцилляции критической точки равен ее удаленности.
2. Существует система локальных координат, приспособленная к критической точке.
3. Кратность показателя осцилляции критической точки равна 1, если найдется приспособленная к критической точке система координат, в которой центр границы многоугольника Ньютона ряда Тейлора критической точки лежит на пересечении двух ребер многоугольника. В противном случае кратность показателя осцилляции равна 0.
Замечания. 1. Утверждения пп. 1, 2 справедливы и для невырожденной критической точки; утверждение п. 3 — нет (пример: /=X1X2).
2. Утверждения об асимптотиках, сформулированные в теореме, справедливы и для асимптотик интегралов Лапласа с фазами, зависящими от двух аргументов.
3. Теорема 11 влечет теорему 6.5 и ее дополнение а). Дополнение б) вытекает из следствия 3 теоремы 5 и п. 3 теоремы 7.5.
4. В [18] указан алгоритм поиска приспособленных систем координат, указаны признаки приспособленных координат. Согласно одному из них система координат приспособлена к критической точке, если центр границы многоугольника Ньютона ряда Тейлора критической точки лежит на пересечении двух ребер многоугольника, ср. с п. 3 теоремы.
5. Показатель осцилляции вырожденной критической точки фазы двух, аргументов не меньше удаленности критической точки согласно следствию 4 теоремы 5.
Доказательство (как и доказательство теоремы 3) основано на анализе разрешения особенностей критической точки фазы. Анализ разрешения особенностей фазы в случае двух аргументов облегчается двумя обстоятельствами. Во-первых, в этом случае имеется простой алгоритм разрешения особенностей последовательными сг-процессами в точках. Во-вторых, в двумерном случае вес разрешения особенностей произвольной вырожденной критической точки больше —1 (следствие 3 теоремы 5). Согласно второму замечанию показатель осцилляции равен весу разрешения особенностей (п. 3 теоремы 7.5). Таким образом, остается доказать, что вес разрешения особенностей равен удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы в приспособленной к фазе системе координат. ПОКАЗАТЕЛИ ОСОБОСТИ, ПРИМЕРЫ
Теорема 11 является прямым следствием формулируемой ниже теоремы 12.
Теорема 12 (см. [18]). Рассмотрим резрешение особенностей вырожденной критической точки аналитической функции двух аргументов. Тогда
1. Вес разрешения особенностей равен удаленности критической точки.
2. Существует система локальных аналитических координат, в которых удаленность многогранника Ньютона ряда Тейлора критической точки равна весу разрешения особенностей.
3. Кратность числа, равного весу, относительно разрешения особенностей (определение см. в п. 7.3) равна 2, если существует приспособленная к критической точке система координат, в которой центр границы многоугольника Ньютона лежит на пересечении двух ребер многоугольника. В. противном случае кратность равна 1.
§ 9. Показатели особости, примеры
В этом параграфе мы докажем аддитивность показателя осцилляции, объясним вычисления показателей особости в таблицах п. 6.1.И. Во второй части параграфа мы приведем пример деформации критической точки. Этот пример иллюстрирует несколько явлений. Во-первых, отсутствие полунепрерывности сверху показателя осцилляции. Во-вторых, существование критических точек, которые комплексно-эквивалентны, но имеют разные показатели особости. В-третьих, существование критической точки, у которой показатель особости не равен удаленности. Наконец, существование критической точки, у которой главная часть ряда Тейлора R-невырождена, но удаленность многогранника Ньютона больше показателя осцилляции.
9.1. Показатель особости.
А. Аддитивность показателя осцилляции и его кратности. Пусть /: Rra-^R и g: R* —+R—гладкие функции, х, у—соответственно их критические точки. Критическая точка XX у—функции f + g: R"X R1—^ R называется прямой суммой критических точек х, у.
Лемма 1. Показатель осцилляции и кратность показателя осцилляции аддитивны.
Доказательство. Обозначим через ?, К соответственно показатель осцилляции и кратность показателя осцилляции.
Очевидно, 4To?(jcxi/)>?(x)+?(i/), и если ? (xXi/)=? (x)+?(t/), то К(хху)Ж(х) + К(у). Действительно, если амплитуда осциллирующего интеграла с фазой f + g разлагается в произведение двух функций, одна из которых есть функция на R", а другая есть функция на R', то сам интеграл разлагается в произведение осциллирующих интегралов с фазами соответственно / и g.
.7 В. И. Арнольд и др. 194
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. Il'
Докажем обратные неравенства. Рассмотрим осциллирующий интеграл с фазой / + ?. Предположим, что носитель амплитуды сосредоточен в малой окрестности точки ху.у. В этом случае ин-
п+1-1
теграл разлагается в асимптотический ряд 2 S ^aTa (In т)й,
