Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 87

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 160 >> Следующая


Доказательство теоремы. Будем предполагать, что /(0)=0. С простым веером из теоремы ассоциировано многообразие, подчиненное многограннику Ньютона ряда Тейлора. Это многообразие и ассоциированная с ним проекция разрешают особенности фазы в начале координат (теорема 2). Применим теорему 7.5. Для доказательства п. 1 теоремы нужно указать набор кратностей разрешения особенностей, т. е. нужно указать кратности неприводимых компонент гиперповерхности нулевого уровня фазы, поднятой на многообразие, разрешающее особенности. В локальной карте многообразия поднятая фаза равна произведению одночлена и функции с неособой гиперповерхностью нулевого уровня (см. лемму 8); кроме того, якобиан отображения разрешения равен одночлену (лемма 7). Поэтому в локальной карте неприводимыми компонентами с кратностями, не равными (1, 0) (см. п. 7.9), являются те координатные гиперплоскости, на которых кратность 186

ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. Il'

нуля поднятой фазы больше 1. Лемма 7 выражает на гиперплоскости кратности нулей поднятой фазы и якобиана разрешения через соответствующий примитивный ковектор одномерного конуса простого веера. Теперь п. 1 теоремы следует из теоремы 7.5 и леммы 7.

Обратим внимание на геометрический смысл первого числа арифметической прогрессии, отвечающей примитивному ковектору одномерного конуса (см. замечание после леммы 7). Это первое число равно взятой с минусом обратной величине параметра пересечения биссектрисы положительного октанта и гиперплоскости, заданной ковектором и опирающейся на многогранник. Поэтому среди первых чисел арифметических прогрессий, указанных в п. 1 теоремы, непременно есть число, равное удаленности многогранника. А именно, удаленность есть первое число арифметической прогрессии, отвечающей всякому ковектору, след которого содержит центр границы многогранника.

Докажем п. 2. Если удаленность многогранника Ньютона равна —1, п. 2 следует из п. 1 теоремы 7.5. Если удаленность меньше —1, то ряд Тейлора фазы не делится ни на одну из переменных. Согласно леммам 7, 8 это означает, что выполнены условия п. 5 теоремы 7.5. Теперь п. 2 теоремы следует из п. 5 теоремы 7.5. Случай, в котором удаленность многогранника Ньютона больше —1, разбирается при доказательстве п. 3.

П. 3, а) теоремы следует из п. 3 теоремы 7.5, поскольку в этом случае вес разрешения больше —1 и равен удаленности многогранника Ньютона. П. 3, б) следует из п. 4 теоремы 7.5.

Пп. 4, а) и 4, б) будут следовать из пп. 3, 4 теоремы 7.5, если будет доказано, что кратность веса разрешения равна кратности удаленности многогранника Ньютона. Для доказательства отметим следующий очевидный факт. Рассмотрим все конусы простого веера, подчиненного многограннику Ньютона, которые обладают свойством: следы всех ковекторов, составляющих конус, содержат центр границы многогранника Ньютона. Тогда максимум размерностей указанных конусов равен увеличенной на 1 кратности удаленности многогранника Ньютона. Теперь требуемое утверждение следует из леммы 7.

Пп. 5, а) и 5, б) следуют соответственно из пп. 3, г) и 4, г) теоремы 7.5. Пп. 3, в, 4, в), 5, в) следуют из п. 6 теоремы 7.5. П. 6 следует из п. 7 теоремы 7.5. Теорема доказана.

Согласно теореме 3 порядок осциллирующего интеграла равен удаленности многогранника Ньютона фазы, если амплитуда знакопостоянна и ее значение в критической точке фазы отлично от нуля. Сформулируем утверждение, описывающее порядок интеграла в случае, когда амплитуда обращается в нуль в критической точке фазы.

Пусть заданы два многогранника Ньютона. Назовем коэффициентом вложения первого многогранника во второй нижнюю грань §8]

АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА

187

следующего множества положительных чисел. Число принадлежит множеству, если гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения, равным числу, переводит первый многогранник внутрь второго.

Поставим в соответствие амплитуде осциллирующего интеграла многогранник Ньютона ее ряда Тейлора, умноженного на произведение всех переменных. Таким образом, мы имеем два многогранника: этот многогранник и многогранник Ньютона ряда Тейлора фазы. Назовем удаленностью многогранников фазы и амплитуды взятую с минусом величину, обратную к коэффициенту вложения первого многогранника во второй.

Задача. Докажите, что удаленность многогранников фазы и амплитуды равна удаленности многогранника Ньютона фазы, если ряд Тейлора амплитуды имеет ненулевой свободный член.

П р и м е р. Пусть ряды Тейлора фазы и амплитуды равны соответственно Xi~\~И X\Х2¦ Тогда удаленность их многогранников равна —7/9.

Теорема 4. Предположим, что фаза осциллирующего интеграла является аналитической функцией в окрестности начала координат. Предположим, что ряд Тейлора фазы в начале координат имеет IR-невырожденную главную часть. Тогда

1. Показатель степени параметра старшего члена асимптотического ряда осциллирующего интеграла не больше удаленности многогранников фазы и амплитуды.

2. Показатель степени параметра старшего члена равен удаленности многогранников фазы и амплитуды, если эта удаленность больше —1 и многогранник, поставленный в соответствие амплитуде, конгруэнтен положительному октанту.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed