Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 85

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 160 >> Следующая

Доказательство очевидно.

Предположим, что степенной ряд f имеет вещественные коэффициенты и сходится. Функцию, задаваемую рядом, будем обозначать той же буквой. Рассмотрим функцию foh индуцированную из функции f мономиальным отображением. С каждой координатной гиперплоскостью связаны два числа: кратность нуля на гиперплоскости функции foh и кратность нуля на гиперплоскости якобиана мономиального отображения. Первое число обозначим через k, второе через т. Число, равное —(m-\-l)/k, называлось в §7 весом гиперплоскости. Веса играют основную роль в теореме 7.5. Объясним геометрический смысл веса координатной гиперплоскости. Пусть для определенности это гиперплоскость, заданная уравнением X1=O.

Обозначим через Г многогранник Ньютона исходного степенного ряда. Рассмотрим гиперплоскость в IR", заданную уравнением <а\ х> = Iria1), здесь а1—ковектор с номером 1 скелета первого конуса, /г — опорная функция многогранника Г. Пересечение этой гиперплоскости с многогранником есть след ковектора а1. Гиперплоскость пересекается с биссектрисой положительного октанта ровно в одной точке (t, ..., t). Согласно лемме 7 вес координатной гиперплоскости X1 = O равен — (йї + . ¦ . + aty/lr (а1) = — 1/f. (См. рис. 71). Это замечание объясняет появление в теореме 6.4 числа, равного удаленности многогранника Ньютона.

Сформулируем вторую вспомогательную лемму.

Лемма 8. Предположим, что выполнены условия леммы 7. Предположим, что при мономиальном отображении h гиперплос- 182

!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. II

кость, заданная уравнением X1-O, отображается в начало координат. Предположим, что степенной ряд f (без свободного члена) сходится и имеет IR-невырожденную главную часть. Предположим, что все ковекторы внутренности первого конуса эквивалентны относительно многогранника Ньютона ряда f. Тогда в каждой точке гиперплоскости X1=O найдутся локальные координаты, в которых функция foh и якобиан отображения h равны одночленам с точностью до умножения на не обращающиеся в нуль функции.

Доказательство. Достаточно доказать, что упомянутые локальные координаты найдутся для точки, в которой первых s евклидовых координат равны нулю, а остальные евклидовы координаты отличны от нуля. По условию ряд foh представим в виде

X1 г {а ) ...хпг (а } (const + 0 (хг, . . ., хп)), где const Ф 0 (см. пункты

1, 3 леммы 7). Перепишем ряд foh в виде x^r(a) ...xsr("s)X X(/о(xs+1, .. ., хп) + О (X1, .. ., Xs)). Достаточно доказать, что гиперповерхность, заданная уравнением /„ = 0, не имеет особых точек в (R \ 0)". Все координаты ковектора а1 положительны (п. 4 леммы 7), поэтому /0—многочлен. Обозначим через у совместный след ковекторов a?-, ..., as. 7—непустая компактная грань многогранника Ньютона. Обозначим через /v у-часть ряда /. Оче-

I (а1) I

видно, что fy oh = X17 ...XST /0. В силу lR-невырожденности главной части ряда / первые частные производные у-части не имеют общих нулей в (IR \ 0)". Отображение h задает диффеоморфизм (IR \ 0)" —- (IR \ 0)", поэтому многочлены /0, df0/dxs+1, . . . ..., df0/dxn не имеют общих нулей в (RX4O)", что и требовалось доказать.

Д. Доказательство теоремы 2. Проверим выполнение трех пунктов определения разрешения особенностей, приведенных на стр. 144. Рассмотрим многообразие, подчиненное многограннику Ньютона ряда f, и ассоциированную с ним проекцию многообразия на IR". Согласно теореме 1 проекция является собственным аналитическим отображением. Следовательно, выполнен п. 3 определения разрешения особенностей. Проекция обратима вне объединения координатных гиперплоскостей в Rra. Следовательно, выполнен п. 2 определения. Наконец, п. 1 является прямым следствием леммы 8. Теорема доказана.

Замечание 1. Разрешение особенностей в теореме 2 определяется простым веером, подчиненным многограннику Ньютона. Изменяя веер, можно наделить разрешение особенностей дополнительными свойствами. А именно, можно выбрать такой простой веер, подчинённый многограннику Ньютона, для которого отобра- §8]

АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА

183

жение разрешения особенностей, указанное в теореме 2, обратимо вне гиперповерхности нулевого уровня функции, заданной степенным рядом (см. [231]). Обратимость отображения вне гиперповерхности нулевого уровня означает выполнение условия 2 на стр. 144.

Лемма 9. Разрешение особенностей, указанное в теореме 2, удовлетворяет условию 2' на стр. 144, если простой веер, определяющий разрешение, обладает следующим дополнительным свойством. Конусом этого веера является всякий конус веера, ассоциированного с многогранником, если этот конус симплициален и его скелет можно дополнить до базиса целочисленной решетки.

Пример. На рис. 69—70, изображены многогранник Ньютона, ассоциированный с ним веер и простой веер, подчиненный многограннику Ньютона. Простой веер обладает свойством, указанным в лемме 9.

Лемма легко доказывается с помощью пп. 1, 4 леммы 7; см. также [231].

Лемма 10. Существует простой веер, подчиненный многограннику Ньютона и обладающий свойством, указанным в лемме 9.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed