Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Такой простой веер можно построить алгоритмом, указанным в п. 8.2.Б.
Замечание 2. Сформулируем комплексный аналог теоремы 2.
Теорема 2' (см. [11, 107, 231]). Рассмотрим сходящийся степенной ряд п переменных без-свободного члена, с комплексными коэффициентами и с С-невырожденной главной частью. Ряд задает аналитическую функцию в окрестности начала координат в С". Рассмотрим комплексное аналитическое многоообразие, подчиненное многограннику Ньютона степенного ряда, и ассоциированную с многообразием проекцию многообразия на С" (см. п. 8.1. Ж). Утверждается, что многообразие и проекция разрешают особенности в начале координат функции, заданной рядом (т. е. функция, многообразие и его отображение на С" обладают свойствами 1—3 на стр. 144).
Доказательство совпадает с доказательством теоремы 2.
Как и теорема 2, теорема 2' допускает усиление: существует такое многообразие, подчиненное многограннику Ньютона степенного ряда, для которого разрешение особенностей из теоремы 2' обладает свойством 2 на стр. 144 (см. [231]).
8.3. Приложения к осциллирующим интегралам.
А. Теорема 3 (см. [18]). Рассмотрим осциллирующий интеграл
Предположим, что фаза является аналитической функцией в окрестности начала координат. Предположим, что ряд Тейлора фазы 184
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
в начале координат имеет R-невырожденную главную часть. Рассмотрим многогранник Ньютона ряда Тейлора. Рассмотрим простой веер, подчиненный этому многограннику Ньютона. Об этих объектах справедливы утверждения 1—5.
1. Множество показателей фазы в начале координат принадлежит объединению следующих арифметических прогрессий, зависящих только от веера и не зависящих от коэффициентов ряда Тейлора. Одна последовательность — это отрицательные целые числа. Остальные прогрессии параметризуются одномерными конусами веера, на которых отлична от нуля опорная функция многогранника Ньютона. Такому конусу отвечает арифметическая прогрессия —(a1+...+a")/Ir (а), —(1+a1+...+a")/Ir (а), ..., где а={а\ ... . . ., ап) — примитивный ковектор, порождающий конус, Ir — опорная функция многогранника Ньютона.
2. Показатель осцилляции фазы в начале координат не больше удаленности многогранника Ньютона.
3. Показатель осцилляции фазы в начале координат равен уда-ленности многогранника Ньютона, если выполнено хотя бы одно из трех условий:
а) Многогранник Ньютона является далеким.
б) Фаза имеет в начале координат максимум или минимум.
в) Обозначим через у замыкание открытой грани многогранника Ньютона, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона (см. п. 6.2.В); требуется, чтобы у-часть ряда Тейлора фазы в начале координат не имела нулей в (R\0)" и удаленность многогранника Ньютона не была целым нечетным числом (условие об отсутствии нулей выполняется, в частности, если у — вершина многогранника).
4. Если выполнено хотя бы одно из условий а) — в) пункта 3 теоремы, то кратность показателя осцилляции фазы в начале координат равна кратности удаленности многогранника Ньютона (в частности, если биссектриса положительного октанта натыкается на вершину многогранника Ньютона, то кратность равна п—\, если на ребро, то кратность равна п—2, и т. д.). Если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности начала координат, амплитуда знакопостоянна и отлична от нуля в начале координат, то отличен от нуля числовой коэффициент старшего члена асимптотического ряда осциллирующего интеграла (т. е. коэффициент ак> 0 ряда (2) на стр. 133).
5. Предположим, что выполнено хотя бы одно из условий а) — в) пункта 3 теоремы. Предположим, что фаза имеет конечнократ-ную критическую точку в начале координат и носитель амплитуды сосредоточен в малой окрестности начала координат. Тогда числовой коэффициент старшего члена асимптотического ряда осциллирующего интеграла (т. е. коэффициент ак, 0 ряда (2) на стр. 133) равен значению амплитуды в начале координат, умноженному на отличную от нуля константу, зависящую только от фазы. §8] АСИМПТОТИКИ И МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА 185
6. Предположим, что удаленность многогранника Ньютона равна—-1. Тогда показатель осцилляции фазы в начале координат равен —1, если выполнено хотя бы одно из двух условий:
а) Открытая грань, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона, имеет размерность меньше п—1.
б) Замыкание у открытой грани, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона, компактно, и у-часть ряда Тейлора имеет нули на (IR\0)B.
Более того, в этом случае кратность показателя осцилляции фазы в начале координат равна кратности удаленности многогранника Ньютона или на 1 меньше кратности удаленности. Если условия а), б) выполнены одновременно, то кратность показателя осцилляции равна кратности удаленности.
Замечания. 1. Теорема 6.4 и ее добавления а), б), е), ж) — следствия сформулированной теоремы.
2. В п. 1 теоремы указан способ построения арифметических прогрессий. Существует иной способ построения подобных прогрессий. Этот способ использует только многогранник Ньютона и не использует простого веера, подчиненного многограннику. Способом можно пользоваться, если фаза имеет в начале координат ко-нечнократную критическую точку и ряд Тейлора фазы имеет C-невырожденную главную часть. Способ основан на следующей теореме Мальгранжа. С каждой конечнократной критической точкой функции связан линейный оператор монодромии в исчезающих в точке гомологиях (см. главу 1). С каждым корнем X характеристического многочлена оператора монодромии свяжем арифметическую прогрессию всех чисел а, для которых ехр (2nia)=X. Теорема Мальгранжа (см. § 11) утверждает: множество показателей критической точки содержится в объединении построенных прогрессий. В теореме 3.13 указана формула, выражающая характеристический многочлен оператора монодромии через многогранник Ньютона ряда Тейлора критической точки.
