Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Согласно теоремам 3.11, 3.12 собственные числа оператора монодромии M являются корнями из 1 и размеры его жордановых клеток не превосходят двух. Поэтому в предыдущем ряде все числа а рациональны и степени логарифмов не больше 1.
Пример. Пусть у2 -}-х3—многочлен, на линиях уровня которого лежат циклы, (u = ydx. Тогда в окрестности нуля § со =
о w
— const ¦ tb!& (см. замечание в п. Б). В п. Б мы описали преобразование монодромии, отвечающее обходу вокруг нуля, для этого случая. Его собственные числа различны и равны ехр (± яі/З). Поэтому согласно теореме для любой полиномиальной формы ю
ее интеграл в окрестности нуля разлагается в ряд ^m =
а «)
=S att&/&+l +2 , где I—целые числа, среди которых только
і і
конечное множество отрицательных. На самом деле, как мы увидим в п. Г, все показатели членов ряда положительны.
Доказательство теоремы о разложении в ряд основано на следующей теореме о том, что интеграл полиномиальной формы в каждом секторе окрестности исключительного значения параметра растет не быстрее подходящей степени параметра.
Теорема 3 (см. [185, 187, 188]). Существует натуральное N, для которого в указанном выше секторе имеют место неравенства
со
оj (О
<const-/ = 1, ...,р..
Мы не будем доказывать эту теорему, укажем лишь один из способов ее доказательства. Разрешим особенности линии исключительного уровня. Тогда в подходящих координатах в окрестности произвольной точки разрешенной линии уровня многочлен становится одночленом, полиномиальная форма превращается в § 10] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
203
голоморфную, и интеграл по части цикла, лежащей в окрестности, удается оценить требуемым образом. Отметим, что нужно разрешать особенности и бесконечно удаленных точек линии исключительного уровня, чтобы оценить интеграл по части цикла, удаляющейся в бесконечность. В окрестности разрешения таких точек форма превращается в мероморфную, но и для мероморфной формы требуемую оценку нетрудно получить (см. [30, 22]). Элементарное доказательство, не использующее разрешения особенностей, см. в [187, 188].
Для вывода теоремы 2 из теоремы 3 нам нужно уметь логарифмировать невырожденное линейное преобразование.
Лемма 2. Пусть А—невырожденная цхц-матрица. Тогда существует рх^-матрица В, для которой ехр B=A (ехр? =
Прежде чем доказывать лемму, напомним определения. Линейный оператор называется полупростым, если пространство, в котором он действует, имеет базис, состоящий из собственных векторов оператора. Линейный оператор называется унипотентным, если все его собственные числа равны 1. Хорошо известно, что для любого невырожденного линейного оператора M существуют и единственны коммутирующие между собой полупростой оператор Ms и унипотентный оператор Ma, для которых M=MaMs (оператор Ms — это оператор, который на корневом подпространстве оператора M действует как умножение на соответствующее собственное число; см. [90]). Операторы Ma, Ms называются соответственно унипотентной и полупростой частями оператора М.
Доказательство леммы 2. Лемму достаточно доказать для матрицы в жордановой форме и, более того, для матрицы, состоящей из одного блока. Пусть X — собственное число блока. Тогда блочная матрица разлагается в произведение матрицы X-Id и матрицы, у которой все собственные числа равны 1. Первая матрица — это полупростая часть, а вторая — унипотентная часть. Матрицы полупростой и унипотентной части коммутируют. Поэтому достаточно прологарифмировать каждую из них. Логарифм первой равен In X Id. Логарифм второй задается формулой
In C = In (Id + (С—Id» = 2 (—:(C—Id^/s.
Замечание. Матрица In С нильпотентна, т. е. все ее собственные числа равны нулю.
Доказательство теоремы 2. В малой окрестности нуля распространим по непрерывности базис целочисленных одномерных гомологий на параметры с произвольными аргументами. Интегрирование формы по базису распространяет вектор-функцию I до многозначной вектор-функции в малой проколотой окрестности нуля. При обходе параметра вокруг нуля «против часовой стрелки» вектор I(t) переходит в вектор 1(f)*А, где А — 204 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
матрица преобразования монодромии М, записанного в базисе
Oi(t), . . ., Oll (t).
Рассмотрим в проколотой окрестности нуля многозначную голоморфную матричную функцию
J(t) = ехр (—In (/) • In (А)/2лі),
где In (Л) — одно из возможных значений логарифма матрицы А. При обходе параметра вокруг нуля против часовой стрелки матрица J (t) переходит в матрицу A~1J(t). Таким образом, вектор-функция t*-*-1 (t) J (t) является однозначной функцией в проколотой окрестности нуля.
Докажем, что функция I-J мероморфна в нуле, т. е. докажем, что ее координаты растут не быстрее подходящей степени параметра при подходе параметра к нулю. Согласно теореме 3 достаточно доказать аналогичное утверждение о координатах матрицы J.
Выясним, как выглядят элементы матрицы J. Для этого достаточно выяснить, как выглядят элементы матрицы J для случаев, в которых матрица А диагональная или унипотентная (см. лемму 2). В первом случае матрица J тоже диагональная, на диагоналях стоят степени переменной t. Во втором случае элементами матрицы являются многочлены от In t, степени многочленов меньше размеров жордановых блоков (см. замечание после леммы 2). Таким образом, для произвольной матрицы А каждый элемент матрицы -J(t) имеет вид конечной суммы 2 VxPa (In t). В этой сумме каж-
