Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Вырожденная критическая точка в начале координат фазы Xk11 х%г удовлетворяет условиям теоремы. Ее показатель осцилляции равен — Ilk1-Ilk2.
Пример 2. Критическая точка в начале координат фазы f примера на стр. 139 удовлетворяет условиям теоремы. Ее показатель осцилляции равен —1/2.
Следующие утверждения дополняют теорему.
а) Пусть выполнены условия теоремы; тогда кратность показателя осцилляции критической точки фазы равна кратности удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы в этой критической точке.
б) Если главная часть ряда Тейлора критической точки фазы IR-невырождена, то показатель осцилляции критической точки не больше удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора.
в) Рассмотрим критическую точку в начале координат фазы xl+xl+xl + xl + ixt—ixl + xi+xl + xl^x;,. Тогда главная часть ряда Тейлора критической точки IR-невырождена; удаленность многогранника Ньютона ряда Тейлора меньше —1; показатель осцилляции критической точки меньше удаленности многогранника Ньютона.
г) Если многогранник Ньютона ряда Тейлора критической точки фазы далекий, то показатель осцилляции критической точки фазы не меньше удаленности .многогранника. ^
д) Если многогранник Ньютона ряда Тейлора критической точки фазы далекий и эта критическая точка конечнократна,'то коэф- 142
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
фицнент при старшем члене асимптотического ряда осциллирующего интеграла (коэффициент ак, р ряда (2) на стр. 133) равен значению амплитуды в критической точке фазы, умноженному на отличную от нуля константу, зависящую только от фазы.
е) Пусть главная часть ряда Тейлора критической точки фазы IR- невырожден а и удаленность многогранника Ньютона равна —1. Тогда показатель осцилляции критической точки фазы равен —1, если выполнено хотя бы одно из двух условий:
открытая грань, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона, имеет размерность меньше п—1;
замыкание v открытой грани, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона, компактно, и у-часть ряда Тейлора имеет нули на (IR\0)n.
ж) Если выполнены предположения дополнения е), то кратность показателя осцилляции критической точки фазы равна кратности удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора или на 1 меньше кратности удаленности.
Теорема 4 и дополнения а), б), г), д), е), ж) доказаны в § 8, дополнение в) доказано в § 9.
Согласно теореме 4 показатель осцилляции критической точки фазы можно выразить через многогранник Ньютона ее ряда Тейлора, если главная часть ряда Тейлора IR-невырождена и многогранник Ньютона ряда Тейлора далекий. Система координат, в которой ряд Тейлора обладает такими свойствами, существует не всегда. Например, ее нет для критической точки в начале координат функции g примера на стр. 139. Тем не менее для критических точек функций двух переменных предположение о существовании указанной системы координат можно отбросить.
Пусть фаза — аналитическая функция в окрестности своей критической точки. Удаленностью критической точки фазы называется верхняя грань удаленностей многогранников Ньютона рядов Тейлора фазы во всех системах локальных аналитических координат с началом в критической точке.
Локальная система аналитических координат с началом в критической точке фазы называется приспособленной к критической точке, если удаленность многогранника Ньютона ряда Тейлора фазы в этой системе координат имеет наибольшее возможное значение, равное удаленности критической точки.
Теорема 5 (см. [181). Пусть фаза — аналитическая функция двух переменных в окрестности своей критической точки. Тогда показатель осцилляции критической точки равен ее удаленности.
Следующие утверждения дополняют теорему.
а) В условиях теоремы существует система координат, приспособленная к критической точке. - -
б) Если критическая точка фазы двух переменных конечнократ-на, то коэффициент при старшем члене'асимптотического ряда осциллирующего- интеграла- (коэффициент- аКг$ ряда (2) на.-стр.- 133) f 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
143
равен значению амплитуды в критической точке фазы, умноженному на отличную от нуля константу, зависящую только от фазы.
в) Показатель осцилляции больше удаленности для критической точки в начале координат фазы (—xf-f хї+хЦ- х§)2 + х?-f + xf трех переменных.
Теорема 5 и дополнения а), б) обсуждаются в п. 8.4, дополнение
в) доказано в § 9 (см. также [18]).
В [18] описан алгоритм нахождения системы координат, приспособленной к критической точке фазы двух переменных. Для нахождения приспособленных координат полезна следующая лемма.
Лемма 2 (см. [18]). Локальная система координат с началом в критической точке фазы двух переменных приспособлена к критической точке, если выполнено хотя бы одно из следующих условий.
а) Центр границы многоугольника Ньютона ряда Тейлора фазы в этой системе координат является вершиной многоугольника.
б) Центр границы многоугольника Ньютона лежит на некомпактном компактном ребре многоугольника.
в) Центр границы многоугольника Ньютона лежит на компактном ребре многоугольника, и ни тангенс, ни котангес угла, образованного ребром и первой осью координат в R2, не равны целому числу (отметим, что перенумерация осей меняет тангенс с котангенсом и не влияет на выполнение сформулированного условия).
