Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
5 4 7 3
9 7 12 5
Si7 Ul1Q, Uli 2q—i, Uit Щ ?lS ?20 Zis Z19 Wie Qi6 Qis Si« U16
5 11 17 13 10 16 17 25 29 21 19
8 18 30 24 17 27 28 42 48 34 30
Таблица 4. Особенности коранга 2 с ненулевой 4-струей
Л... ^ft, ; E»k Eik+i ?ft + 2 0. -^ft, />• s
2fe — 1 6k—1 Ak 6fe+l 3fe —1
3ft 9fe + 3 6fe+3 9?-f-6 Ak
^fe ^fe «•і, 0> /-і, pt 6l2k+«i-l> ^iafe+ ei> ^.12 ft+ ei +1 i. при k > 2 Z/, 0 Z/, p
3fe—1 Ak 2t+5 3t +8 f 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
137
¦Zis+si Zl4+6І Zib+ei Zit o, Zit p Zei+її Zgi+ 12 Zei+is
6t+ 17 4t+12 6t+ 19 2t+2 6t+ 8 4t+6 6t+10
9t+27 6t+ 19 9t+30 3t+4 9t+ 15 6t+ 11 9t+ 18
Wiik ^ft, 0, К. 2, Wiaft+5 ^ 12k+ 4
12k— 1 9k 12k + 2 9ft+3 12A+5
16A+4 12k+4 16A+8 12A+8 16A+12
Таблица 5. Особенности коранга 3 с приведенной 3-струей и 3-струей х2у
Qk, o, Qk, і Qek+ 4 Qek+5 Qsk+e Sl2ft-1 5ISft
4k~l 12k+1 8k+2 12k +5 12k—3 18k—3
6k 18A+6 12k+6 18A+12 16k 24k+2
sft. 0» Sk, 2(/-1 Sk, it sk, 2q ^124 + 4 ^12ft+5 Uizk Uk, 2q Uk, 2q-i U 12ft+4 V, „ V* V, V* rUptv 1, 3q
6k 18& + 3 12k+3 Ibk— 1 10k + 1 15A + 4 5 8
8k+2 24k+ 10 16k+8 18A+6 12A+6 Ш+12
в окрестности критической точки фаза приводится к табличному виду диффеоморфизмом пространства, то ее показатель особости равен показателю особости соответствующей табличной функции.
Для критических точек типов J10+k, X9+k, Yrt Рё+k, Ri, m> RP+, Tp,9,r(p-l + q-* + r-*<l), Xltp(p> 0), Y1rts, Zlv Z%&+ii, Z|6+et-, Z%7+et, Zl p кратность показателя особости равна 1, для всех остальных критических точек таблиц 1—5 кратность показателя особости равна 0. Для всех критических точек таблиц (кроме P++ft, RZ1- + , Rtn- -, f„ т) коэффициент aKt р старшего члена асимптотического ряда (2) равен значению амплитуды в критической точке фазы, умноженному на отличную от нуля константу, зависящую только от фазы. Для критических точек типов Pt+к, Rp+, Rm'~, Tpttn то же утверждение справедливо о мнимой части коэффициента aKt ?.
Доказательства этих утверждений см. в § 9. 138
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
6.2. Формулировка результатов. Основные результаты главы формулируются в терминах многогранников Ньютона ряда Тейлора критической точки фазы. Многогранник Ньютона — это выпуклый многогранник, образованный показателями одночленов, присутствующих в ряде Тейлора. Мы рассматриваем класс критических течек с фиксированным многогранником Ньютона и доказываем, что почти все критические точки класса имеют единый показатель осцилляции. Мы доказываем формулу, выражающую этот общий показатель осцилляции через геометрию многогранника Ньютона. Исключение составляют критические точки, у которых коэффициенты ряда Тейлора удовлетворяют конечному множеству явно указанных алгебраических условий.
Класс критических точек с фиксированным многогранником Ньютона полезно рассматривать при изучении дискретных инвариантов критических точек. Как правило, инвариант принимает единое значение для почти всех точек класса, его общее значение просто выражается через геометрию многогранника Ньютона (см. пп. 6.2.Г, 3.5, а также [10, 11, 18, 29, 56, 59, 66, 67, 107—111, 162, 163, 171, 221, 231]).
А. Многогранник Ньютона. Рассмотрим положительный октант пространства IR", т. е. множество точек с неотрицательными координатами. Определим многогранник Ньютона произвольного подмножества октанта, состоящего из точек с целыми координатами. В каждую точку подмножества перенесем параллельно положительный октант. Многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка в IRn объединения всех построенных октантов. Многогранник Ньютона является выпуклым многогранником с вершинами в точках с неотрицательными целыми координатами. Вместе с каждой точкой он содержит положительный октант, параллельно перенесенный в эту точку. Диаграммой Ньютона подмножества называется объединение всех компактных граней его многогранника Ньютона.
Рассмотрим степенной ряд f =SahXk с вещественными или комплексными коэффициентами, здесь k=(ku . . ., kn), xk=x\*...xknn. Носителем ряда называется множество показателей всех одночленов, входящих в ряд с ненулевыми коэффициентами. Носитель ряда является подмножеством положительного октанта, состоящим из точек с неотрицательными целыми координатами. Выбросим из носителя начало координат (если оно входит в носитель). Полученное множество называется приведенным носителем ряда. Многогранником Ньютона степенного ряда называется многогранник Ньютона его приведенного носителя. Диаграммой Ньютона степенного ряда называется диаграмма Ньютона его приведенного носителя.
Многогранник Ньютона обозначается через Г, диаграмма Ньютона обозначается через А. f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
139
Пример. Для функций / = (xl + xl)a + х\, g = (x\—х%)2, h = = (хг+х2)2 xf + x|+xf многогранники Ньютона и диаграммы Ньютона рядов Тейлора в начале координат изображены на рис. 65.
Для любой грани у многогранника Ньютона степенного ряда у-частью этого степенного ряда называется степенной ряд, составленный из одночленов, показатели которых принадлежат грани у; при этом каждый одночлен входит с тем коэффициентом, с каким
