Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
он входит в исходный степенной ряд. Если грань у компактна, то у-часть — многочлен. Главной частью степенного ряда называется многочлен, составленный из одночленов, показатели которых принадлежат диаграмме Ньютона степенного ряда; при этом одночлены входят с теми коэффициентами, с которыми они входят в исходный степенной ряд. Y-часть ряда / обозначается через /v, главная часть ряда обозначается через /д.
Пример. Для функций предыдущего примера главными частями рядов Тейлора являются многочлены /д = (xf+ х2)2, gA = = (х?—xf)2, Ад = (Xi + х2)2 X21 + xl-
Б. Невырожденность главной части. Определим понятие невырожденности главной части степенного ряда. В дальнейшем мы увидим, что функции, ряды Тейлора которых имеют невырожденную главную часть, обладают хорошими свойствами: их дискретные характеристики просто выражаются через геометрию их многогранников Ньютона; см. п. 6.2.Г.
Определение (см. [66, 171]). Главная часть степенного ряда f с вещественными коэффициентами (соответственно—степенного ряда с комплексными коэффициентами) называется IR-невырожденной (соответственно С-невырожденной), если для любой компактной грани у многогранника Ньютона ряда многочлены dfv/dxx, ..., Ofyfdxn не имеют общих нулей в (R\0)n (соответственно в (С\0)п).
Пример. Все главные части предыдущего примера С-вырож-дены, главная часть /д IR-невырождена, главные части Ад IR-вырождены. -
Замечание. -Для -любой компактной грани у многочлен у-части квазиоднороден. По теореме Эйлера об однородных функциях общие НУЛИ (IRN4O)" всех ПерВЫХ часТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ MHQTO-
Рис. 65, 140
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
члена у-части лежат на многообразии нулевого уровня многочлена у-частн.
Следующая лемма показывает, что рядов с вырожденными главными частями мало.
Лемма 1 (см. [66, 171]). Множество ^.-вырожденных (соответственно С-вырожденных) главных частей является собственным полуалгебраическим (соответственно конструктивным) подмножеством в пространстве всех главных частей, отвечающих данному многограннику Ньютона, дополнение к которому всюду плотно.
Доказательство. Для фиксированной компактной грани у многогранника Ньютона докажем, что в пространстве многочленов, являющихся у-частью, полуалгебраическое подмножество составляют те многочлены, у которых многообразие нулевого уровня имеет особые точки в (R\0)n, и дополнение к нему всюду плотно.
Полуалгебраичность гарантирует теорема Тарского—Зайден-берга (см. [46, 216]). Докажем плотность дополнения. Многообразие нулевого уровня задается уравнением S ckxk~ 0. Выделим
feSV
один из этих мономов. Тогда многообразие нулевого уровня в (R\0)" можно задать уравнением
Ckt = — S CkXk-kO. _ kef\k„
По теореме Бертини — Сарда только конечное множество значений коэффициента Cfeo (при фиксированных остальных коэффициентах) отвечает особому многообразию нулевого уровня. Лемма доказана.
В. Расстояние до многогранника и удаленность многогранника. При исследовании осциллирующих интегралов используются геометрические характеристики многогранника Ньютона, называемые расстоянием до многогранника и удаленностью многогранника. Рассмотрим биссектрису положительного октанта в R", т. е. прямую, состоящую из точек с равными координатами. Биссектриса пересекается с границей многогранника Ньютона ровно в одной точке. Эта точка называется центром границы многогранника Ньютона. Координата центра (с произвольным номером) называется расстоянием до многогранника Ньютона. Удаленностью многогранника Ньютона называется взятая с минусом величина, обратная к расстоянию.
Пример. Для функций f, g, h примера на стр. 139 расстояния до многогранников Ньютона равны соответственно 2, 12/5, 2, удаленности многогранников Ньютона равны соответственно —1/2, —5/12, —1/2.
Чем дальше огг начала координат расположен многогранник Ньютона, тем больше его удаленность. Назовем многогранник Ньютона далеким, если его удаленность больше —1. Другими f 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
141
словами, многогранник Ньютона далекий, если ему не принадлежит точка (1, . . ., 1).
Рассмотрим открытую грань, которой принадлежит центр границы многогранника Ньютона. Уменьшенная на 1 коразмерность этой грани называется кратностью удаленности. В частности, если указанная грань есть вершина многогранника, то кратность равна п—1, если указанная грань есть ребро многогранника, то кратность равна п—2, и т. д.
Пример. Для функций f, g, h примера на стр. 139 кратность удаленности их многогранников Ньютона равна соответственно О, 0, 1.
Г. Формулировка основного результата. Основной результат главы гласит: показатель осцилляции критической точки фазы определяется удаленностью многогранника Ньютона ее ряда Тейлора (при условиях, сформулированных в следующих двух теоремах).
Теорема 4 (см. [18]). Пусть фаза — аналитическая функция в окрестности своей критической точки. Предположим, что главная часть ряда Тейлора фазы в этой критической точке R -невырождена и многогранник Ньютона этого ряда далекий. Тогда показатель осцилляции критической точки фазы равен удаленности многогранника Ньютона.
