Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. В теореме 3 условие аналитичности фазы выполняется практически всегда: фаза есть полином в подходящих координатах в окрестности конечнократной критической точки. Бесконечнократных критических точек очень мало: коэффициенты ряда Тейлора бесконечнократной критической точки удовлетворяют бесконечному множеству независимых алгебраических соотношений.
Мы приведем два доказательства теоремы 3. Одно, основанное на теореме Хиронака о разрешении особенностей, изложено в § 7. Другое доказательство, использующее комплексно-аналитические рассуждения, см. в § 11.
В асимптотическом ряде осциллирующего интеграла фаза и амплитуда неравноправны: фаза определяет показатели степеней параметра, а амплитуда определяет коэффициенты при степенях параметра. Зависимость от фазы более существенна. Как правило, при исследовании осциллирующего интеграла фазу фиксируют, разрешая амплитуде меняться. В примере пункта А об излучении волн поверхностью фаза отвечает за геометрию излучающей поверхности, а амплитуда отвечает за интенсивность излучения.
И. Показатель осцилляции и показатель особости. Основными характеристиками асимптотического ряда осциллирующего интеграла являются показатель степени параметра в максимальном члене ряда, степень логарифма параметра в максимальном члене ряда, числовой коэффициент максимального члена ряда, наконец, множество всех показателей степеней параметра, встречающихся в ряде.
Определения. Множеством показателей аналитической фазы в критической точке называется множество всех чисел а, обладающих свойством: для любой окрестности критической точки найдется амплитуда с носителем в этой окрестности, для которой в асимптотическом ряде (2) найдется число k со свойством: коэффициент ak< а не равен нулю. Показателем осцилляции аналитической фазы в критической точке называется максимальное число в множестве показателей. Показатель осцилляции обозначается через ?. Кратностью показателя осцилляции аналитической фазы в критической точке называется максимальное число k, обладающее свойством: для любой окрестности критической точки найдется амплитуда с носителем в этой окрестности, для которой в асимптотическом ряде (2) коэффициент akt ? не равен нулю. Кратность показателя осцилляции обозначается через К. §6]
обсуждение результатов
135
Пример. Множество показателей фазы п переменных в невырожденной критической точке есть множество всех чисел вида —п/2—I, где Z=O, 1, . . . Показатель осцилляции этой критической точки равен —я/2, его кратность равна нулю.
Показатель осцилляции и его кратность обладают следующим простым свойством. Пусть f(x-i, . . ., хп), g(ylt . . ., yi) — аналитические функции, имеющие критические точки в началах координат. Тогда для функции f.(xt, . . ., . . ., yt) показатель осцил-
ляции в начале координат и его кратность равны соответственно сумме показателей осцилляции и сумме кратностей показателей осцилляции критических точек функций f и g: ?(f+g)=?(/)+?(g), К(f-hg)=K(f)+K(g) (это — следствие теоремы Фубини, см, §9). Аддитивность показателя осцилляции и его кратности мотивирует следующее определение.
Определение. Показателем особости аналитической фазы п переменных в критической точке называется увеличенный на п/2 показатель осцилляции в этой критической точке. Кратностью показателя особости называется кратность показателя осцилляции.
Показатель особости и его кратность равны нулю в невырожденной критической точке фазы. Показатель особости и его кратность равны в стабильно эквивалентных критических точках.
К. Таблицы показателей особости. В этой главе вычисляются (в перечисленных ниже случаях) основные характеристики критической точки фазы осциллирующего интеграла: показатель осцилляции, его кратность, множество показателей, указывается, при каких амплитудах старший член асимптотического ряда отличен от нуля. Утверждения, доказанные в этой главе, позволяют вычислить показатели особости и их кратности для всех критических точек, расклассифицированных в главе 2 ОДО-1. А именно, для всех простых, унимодальных и бимодальных критических точек, для всех критических точек кратности, меньшей чем 16, для всех критических точек, состоящих в классах коразмерности, меньшей 10, см. § 15 ОДО-1.
Результаты вычислений сведены в таблицы 1—5. В первой строке таблиц стоят обозначения типов критических точек фазы. Соответствующие этим обозначениям нормальные формы ^!критических точек указаны в пп. 15.1, 17.1 ОДО-1. Во второй строке таблиц стоят показатели особости. Смысл наших таблиц'таков: если
Таблица 1. Простые особенности
Ал Dk Ee E7 Es
k—\ k — 2 5 4 7
2ft+ 2 2k — 2 12 9 15 136
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Таблица 2. Унимодальные особенности
J\о» J\o + h> + Уг. st У Г, Рв+k, Rl, т, Rm< T р, ц, г» ^р, т
T 2
?is E13 ¦El4. QlO Zi2 Zis. Qu W12 Wis, S11 Qi2 Sl2 Vi*
11 8 13 6 5 11 9 17 15 7
21 15 24 11 9 20 16 30 26 12
Таблица 3. Бимодальные особенности
^3, 0 Zi, o, E19 B7I, o, ^r* 29-1' 0. Zlr Si. 0 S* га -1. 1^17
Jb. p Zup W7?. 2,. ?2, , Si, Я' lg 'Qn
