Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. II
дая указанная критическая точка дает в интеграл вклад порядка тр-л/2 чИСла ? для критических точек типов Al, D'h, Bk, Cf, Fi равны соответственно —1/(& + 1), —1/(2k—2), (k—1)/2&, 0,1/6 (см. ниже теорему 8.9).
Согласно [8] (см. также § 17 ОДО-1) для фаз осциллирующих интегралов по полупространству, зависящих общим образом от двух или трех параметров, каждая элементарная каустика локально диффеоморфна одной из каустик, изображенных на рис. 60—64. Значениям параметров, переходящим друг в друга при локальном диффеоморфизме, отвечают интегралы равных порядков.
Ж. Зоны света, тени, полутени (по К- П. Мандры-кину). Предположим, что фаза и амплитуда осциллирующего интеграла зависят от дополнительных параметров. Рассмотрим пространство параметров и расположенную в нем каустику. Рассмотрим произвольное значение параметров вне каустики. Фаза осциллирующего интеграла, отвечающего этому значению параметров, имеет только невырожденные критические точки, либо вообще не имеет критических точек. В первом случае осциллирующий интеграл имеет порядок т—л/2, где п — размерность пространства интегрирования; во втором случае осциллирующий интеграл при т —Н-оо стремится к нулю быстрее любой степени параметра х. В соответствии с этими случаями область вне каустики назовем
зоной света, если значениям параметров из этой области отвечают осциллирующие интегралы, фазы которых имєкуг хотя бы одну критическую точку;
зоной тени, если значениям параметров из этой области отвечают осциллирующие интегралы, фазы которых не имеют ни одной критической точки.
Пример. На рис. 54—56 изображены каустики, отвечающие критическим точкам типов A2, A3, Ai, Df. На рисунках каустик, отвечающих A2, Ai, Df, зоны тени расположены под каустиками. Остальные области вне каустик, изображенных на рисунке,— зоны света.
Предположим теперь, что наш осциллирующий интеграл есть интеграл по полупространству. Рассмотрим произвольное значение параметров вне каустики. Имеются три возможности:
1) Фаза осциллирующего интеграла, отвечающего выделенному значению параметров, имеет хотя бы одну критическую точку в полупространстве интегрирования. В этом случае интеграл имеет порядок х-п>2.
2) Фаза осциллирующего интеграла, отвечающего выделенному значению параметров, не имеет критических точек в полупространстве интегрирования, однако ограничение фазы на границу полупространства интегрирования имеет хотя бы одну критическую точку. В этом случае интеграл имеет порядок т~1("+')/2 (теорема 2'). f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
133
3) Как фаза осциллирующего интеграла, отвечающего выделенному значению параметров, не имеет критических точек в полупространстве интегрирования, так и ее ограничение на границу полупространства интегрирования не имеет критических точек. В этом случае интеграл при х -*- +оо стремится к нулю быстрее любой степени параметра т.
В соответствии с этими тремя возможностями области вне каустики назовем зонами света, полутени, тени соответственно.
Пример. На рис. 61—64 изображены каустики, отвечающие критическим точкам типов B3, C4, Bi, Fi. Укажем зоны тени и полутени на этих рисунках, остальные области вне каустик — зоны света.
На рис. 61, а зона полутени — над каустикой. На рис. 61, б зона полутени — под каустикой. На рис. 61, в зона тени — над каустикой; зона полутени — между двумя листами каустики. На рис. 62 полутень — с одной из сторон плоскости каустики. На рис. 63 полутень — справа над плоскостью каустики. На рис. 64 тень — над всей каустикой; полутень — за каустикой под плоскостью каустики; полутень также — справа между плоскостью каустики и линейчатой поверхностью (третьей частью каустики).
Интересно, существуют ли критические точки, вне каустик которых лежат две зоны тени? Вероятно, зоны тени обладают какими-то свойствами выпуклости.
3. Теорема 3 (об асимптотическом разложении; см. [12, 13, 18, 125, 185]). Рассмотрим осциллирующий интеграл
J exp (ixf (х)) ф(х)dxx. ..dx„. (1)
Rn
Пусть фаза — аналитическая функция в окрестности своей критической точки х°. Тогда осциллирующий интеграл разлагается в асимптотический ряд
п-\
exp (ixf (Xй)) ^fltia(ф)та(Inт)* при X —Ьоо, (2)
a k~0
если носитель амплитуды сосредоточен в достаточно малой окрестности этой критической точки фазы. Здесь параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, зависящих только от фазы и составленных из отрицательных рациональных чисел. Числовые коэффициенты ak, а являются обобщенными функциями амплитуды. Носитель каждой такой обобщенной функции лежит в критическом множестве фазы.
Пример (см. [96]). Рассмотрим интеграл Френеля. Предположим, что фаза интеграла имеет невырожденную критическую точку в начале координат, а носитель амплитуды компактен и не содержит других критических точек фазы. Тогда при стремлении 134
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
параметра к +оо интеграл разлагается в асимптотический ряд
OD
exp (ixf (0)) T- S a,-X-S.
J = O
Число aj равно линейной комбинации 2/-ых смешанных производных амплитуды в начале координат. Число а„ указано в теореме 2.
