Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
6.5. Асимптотики объемов. Асимптотики осциллирующего интеграла тесно связаны с асимптотиками объема множества тех точек, в которых фаза принимает значения, меньшие, чем заданное число, при изменении этого числа и стремлении его к критическому значению фазы.
А. Форма Гельфанда — Лере. При изучении осциллирующих интегралов очень полезен следующий прием, сводящий многомерный осциллирующий интеграл к одномерному. Прием состоит в применении теоремы Фубини. А именно, рассмотрим осциллирующий интеграл
Используя теорему Фубини, сведем интеграл к повторному, в котором сначала интегрируем вдоль гиперповерхностей уровня фазы, а затем по оставшейся переменной — значению фазы. Для этого в интеграле перейдем к новым переменным, одна из которых — фаза.
Сделаем два замечания. Во-первых, фазу можно брать в качестве переменной только вне ее критических точек. Поэтому исключим из рассмотрения объединение гиперповерхностей критических уровней фазы. Объединение этих гиперповерхностей имеет нулевую меру и не влияет на интеграл. Во-вторых, для интегрирования по гиперповерхностям уровня не нужно знать каждую из 146
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
остальных новых переменных. Достаточно знать на гиперповерхностях уровня форму (я—1)-мерной плотности, которая после умножения на дифференциал фазы становится формой объема пространства. Такая форма плотности называется формой Гельфанда—-JIepe и обозначается dxt/\. . .Дdxjdf.
Итак, осциллирующий интеграл преобразован к виду
J е™( J ф dxt А ¦ • • a dxjdf)dt.
J
В этом представлении осциллирующий интеграл является преобразованием Фурье функции, задаваемой внутренним интегралом. Функция одной переменной, определяемая внутренним интегралом, называется функцией Гельфанда — JIepe.
Функция Гельфанда—Jlepe—гладкая вне критических значений фазы. В окрестности критического значения фазы функция Гельфанда—Лере разлагается в асимптотический ряд вида
и- і
S S ak a {t—tX(la(t—to))k- Зная асимптотический ряд функции
a a=o
Гельфанда—Лере, можно определить асимптотический ряд осциллирующего интеграла, и наоборот, асимптотики осциллирующего интеграла дают информацию об асимптотиках функции Гельфанда— Лере. Эти свойства функции Гельфанда—Лере обсуждаются в § 7.
Б. Объем множества меньших значений. Предположим, что фаза имеет изолированный минимум и минимальное значение фазы равно нулю. Предположим также, что амплитуда в окрестности точки минимума тождественно равна 1. Обозначим через J функцию Гельфанда—Лере и рассмотрим новую функцию
V (t) = ( J (s) ds. Очевидно, что при отрицательных значениях о
аргумента эта функция равна нулю, а при малых положительных значениях аргумента эта функция равна объему множества точек, в которых фаза принимает значения, меньшие заданного. Таким образом, асимптотики функции объема множества меньших значений определяют асимптотики осциллирующего интеграла в случае, когда фаза имеет изолированный минимум, а амплитуда равна константе в окрестности точки минимума фазы.
Укажем порядки скорости стремления к нулю объема множества меньших значений для простейших изолированных точек минимума. Классификация критичен ких. точек минимума, не устранимых малым шевелением из семги- тва функций, зависящих от не более чем 16-ти параметров, пнведена В. А. Васильевым в [29], там же вычислены асимптоти и объемов меньших значений. Согласно этой классификации единственными точками минимума, не устранимыми малым шевелением из семейств функций, зависящих от не более чем 5-ти параметров, являются точки минимума, f 6] ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
147
в которых функция диффеоморфизмом пространства приводится к виду As: xf+1 + xi-f... + где s= 1, 3, 5. При малых положительных t главный член асимптотики объел:а множества меньших значений имеет вид const, где ? соответственно равно О, 1/4, 1/3.
Сформулируем общую теорему о вычислении порядка скорости стремления к нулю объема множества меньших значений.
Теорема 7 (ср. [29]). Предположим, что аналитическая функция имеет изолированный минимум и минимальное значение равно нулю. Тогда при t —>- + 0 функция V объема множества меньших
п-1
значений разлагается в асимптотический ряд 'S a*, a.ta (In t)k.
a A=O
Здесь параметр а пробегает конечное множество арифметических прогрессий, составленных из положительных рациональных чисел. Если дополнительно известно, что ряд Тейлора функции в точке минимума имеет R-невырожденную главную часть, то показатель а максимального члена асимптотического ряда равен взятой с минусом удаленности многогранника Ньютона ряда Тейлора.
Теорема доказана в п. 8.3.В.
Замечания. 1. При изменении формы объема пространства (т. е. при умножении ее на положительную функцию) порядок старшего члена предыдущего асимптотического ряда не меняется.
2. Предыдущий асимптотический ряд сходится при малых положительных t.
В. Площадь поверхности уровня. В п. 8.3.В сформулирована теорема о вычислении асимптотики площади компактной поверхности уровня при стремлении уровня к критическому.
