Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что на рис. 58 (перестройка А%, +, +) изображена единственная перестройка, для которой при положительном времени
Рис. 53.
Рис. 54.
Рис. 55.
Рис. 56. 128
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
каустика отсутствует, а при отрицательном времени она имеется. Согласно В. М. Закалюкину эта перестройка, возможно, объясняет феномен исчезновения «летающих тарелок».
Е. Осциллирующие интегралы по полупространству. Вернемся к примеру пункта А. Предположим, что излучающая поверхность непрозрачна для испускаемых волн. Тогда в выделенную точку пространства приходят волны только от видимой части поверхности. Поэтому сложное колебание в точке пространства выражается суммой осциллирующих интегра- f 6]
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
129
лов, каждый из которых берется по части поверхности. Таким образом, при изучении коротковолновых колебаний полезно уметь вычислять асимптотики осциллирующих интегралов по области с границей. Мы разберем случай гладкой границы.
Рис. 59.
Рассмотрим осциллирующий интеграл по части пространства R", заданной условием положительности первой координаты, при этом фазу и амплитуду интеграла будем считать гладкими функциями на всем пространстве.
Теорема Г. Пусть амплитуда осциллирующего интеграла по полупространству имеет компактный носитель. Пусть фаза осциллирующего интеграла по полупространству не имеет критических точек на носителе амплитуды в области интегрирования. Пусть ограничение фазы на границу полупространства не имеет критических точек на носителе амплитуды. Тогда при стремлении параметра осциллирующего интеграла к +оо интеграл стремится к нулю быстрее любой степени параметра.
Доказательство достаточно провести в случае, когда носитель амплитуды сосредоточен в малой окрестности точки границы полупространства. Изменив переменные интегрирования, перейдем к случаю, в котором полупространство интегрирования задается условием положительности первой переменной, а фаза есть вторая переменная. Далее, интегрируя по частям по второй переменной достаточное число раз, получим теорему.
Предположим, что фаза осциллирующего интеграла по полупространству не имеет критических точек на границе полупространства. Предположим, что все ее критические точки внутри полупространства невырождены и критические точки ее ограничения на границу полупространства интегрирования тоже невырождены.
5 В. И. Арнольд и др. 130
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
[ГЛ. II
Осциллирующий интеграл с такой фазой будем называть интегралом Френеля по полупространству.
Теорема 2'. Рассмотрим интеграл Френеля по полупространству, в котором первая координата положительна. Предположим, что начало координат не является критической точкой фазы, но является невырожденной критической точкой ограничения фазы на границу полупространства. Предположим, что носитель амплитуды компактен, не содержит критических точек фазы и не содержит других критических точек ограничения фазы на границу полупространства. Тогда при стремлении параметра интеграла к +оо интеграл представим в виде
Ф (0) (іт)-1 (гя/т)'"-1)/* exp (ixf (0) + (in/4) sign f"x,x. (0)) x
XI det fx,x. (0) | -1/» + 0 (¦*-<»+»>/»-»),
где sign fx-х- (0)—сигнатура матрицы вторых производных в критической точке ограничения фазы на границу, detfx.x,(0)—определитель матрицы вторых производных в критической точке ограничения фазы на границу.
Доказательство. В окрестности начала координат изменим первую переменную так, чтобы полупространство интегрирования, по-прежнему, задавалось условием ее положительности, а фаза интеграла приняла вид xi+h(x2, . . ., хп). Теперь теорема 2 сводится к теореме 2 интегрированием по частям по первой переменной.
Предположим, что фаза и амплитуда осциллирующего интеграла по полупространству зависят от дополнительных параметров. Предположим, что фаза, рассматриваемая как семейство функций, зависящих от параметров, является семейством функций общего положения (см. главу II ОДО-1). В этом случае интеграл является интегралом Френеля для почти всех значений параметров. Те значения параметров, при которых интеграл не является интегралом Френеля, образуют гиперповерхность в пространстве параметров, называемую каустикой.
Предположим, что при выделенном значении параметров фаза имеет единственную критическую точку на границе полупространства интегрирования. Каустика в окрестности такого значения параметров называется элементарной.
Примеры элементарных каустик, встречающихся при числе параметров 2 и 3, изображены на рис. 60—64.
При каустическом [значении параметров либо фаза имеет вырожденную критическую точку в полупространстве интегрирования, либо "фаза имеет критическую точку на границе, либо ограничение фазы на границу имеет вырожденную критическую точку. На рисунках около каждой части каустики приведены обозначения' этих критических точек. Нормальные формы 'критических точек, обозначенных на каустиках, см. в § 17 ОДО-1, а также в [8]. Каж- Рис. 60.
Рис. 61.
Рис. 62.
Рис. 64. 132
!ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
