Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку многообразие F' (в отличие от пространства С") имеет, вообще говоря, нетривиальные гомологии, количество этих циклов больше размерности решетки Н~ (их количество равно122
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
сумме размерностей решетки Н~ и решетки, состоящей из ; антиинвариантных классов гомологий многообразия F'). Индексы пересечений описанных циклов позволяют по тем же правилам, что и в п.5.2, определить соответствующую D-диаграмму. Прй : этом надо иметь в виду, что эти правила определяют диаграмму по индексам пересечений исчезающих циклов при л—р== 2 mod 4.
kl _ ____ Поэтому при р = 2 (п — р= 1)
с*;!° ' *' Tj ""следует формально проделать у1 такой же пересчет матрицы пере-
сечений, который происходит при добавлении к обычной особенности
P^ о-CT^==D-о-. . .-о-о функции квадрата одной новой
рис 51 переменной (см. п.2.8), и дальше
строить диаграмму так, как если бы было п — p = 2mod4. В данном случае это означает, что г-я и /-я вершины соединены ребром кратности (А,- о А,) (если хотя бы один из циклов A1- и Ay—короткий) или (A1-о Ау)/2 (если оба цикла — длинные) при і <L j (в соответствии с обычным по-рядком циклов {Aft} в отмеченном наборе); стрелки на ребрах направлены от вершин, соответствующих длинным исчезающим циклам, к вершинам, соответствующим коротким исчезающим циклам.
Нетрудно видеть, что простые особенности проекций на прямую с р== 1 имеют диаграммы, совпадающие с одноименными диаграммами обычных особенностей функций или краевых особенностей. Диаграммы особенностей проекций С%-+\ (2 ^k ^l) и Fll ([і ^ 5) имеют вид, изображенный на рис. 51 ([48]; нумерация вершин опущена).ГЛАВА II
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава посвящена исследованию асимптотик осциллирующих интегралов, т. е. интегралов вида
при больших значениях вещественного параметра т. Здесь / и <р — гладкие функции» Функция / называется фазой, функция <р называется амплитудой. Согласно принципу стационарной фазы основной вклад в асимптотику дают окрестности критических точек фазы. В главе обсуждаются связи асимптотик с различными характеристиками критических точек фазы (разрешением особенностей, многогранниками Ньютона), излагаются методы вычисления асимптотик. В следующей главе обсуждаются связи асимптотик с моно-дромией и смешанными структурами Ходжа критических точек.
В последнее десятилетие теория особенностей исключительно тесно связана с исследованием осциллирующих интегралов. С одной стороны, многие разумные задачи теории особенностей возникли из попыток понять природу поведения интегралов. С другой стороны, многие из исследований критических точек нашли прямые приложения в исследованиях асимптотик. В качестве первого примера напомним, что классификация простых критических точек функции возникла как побочный продукт вычисления асимптотик простейших осциллирующих интегралов (см. [3, 4]). В качестве второго примера отметим связь асимптотик интегралов и смешанных структур Ходжа критических точек (см. главу III).
§ 6. Обсуждение результатов
6.1. Примеры, определения.
А. Осциллирующие интегралы и коротковолновые колебания. Задачи оптики, акустики, квантовой механики, теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, теории чисел приводят к необходимости исследовать осциллирующие интегралы при больших значениях параметра.
Пример. Рассмотрим поверхность в трехмерном пространстве. Предположим, что каждая точка поверхности излучает сферическую волну фиксированной частоты и фиксированной длины.122
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[Г Л. і
сумме размерностей решетки Н~ и решетки, состоящей из антиинвариантных классов гомологий многообразия F'). Индексы пересечений описанных циклов позволяют по тем же правилам, что и в п.5.2, определить соответствующую D-диаграмму. При этом надо иметь в виду, что эти правила определяют диаграмму по индексам пересечений исчезающих циклов при п—ps2mod4.
если бы было п — /7 = 2 mod 4. В данном случае это означает, что і-я и /-я вершины соединены ребром кратности (Аг-оД,) (если хотя бы один из циклов Ai и Aj — короткий) или (Ai о Ду)/2 (если оба цикла — длинные) при і</ (в соответствии с обычным по-рядком циклов {Ак\ в отмеченном наборе); стрелки на ребрах направлены от вершин, соответствующих длинным исчезающим циклам, к вершинам, соответствующим коротким исчезающим циклам.
Нетрудно видеть, что простые особенности проекций на прямую с р— 1 имеют диаграммы, совпадающие с одноименными диаграммами обычных особенностей функций или краевых особенностей. Диаграммы особенностей проекций C%'+li (2^k^l) и Ftl (p. ^ 5) имеют вид, изображенный на рис. 51 ([48]; нумерация вершин опущена).
Рис. 51.
-О- • • •
Поэтому при /7 = 2 (п — /7=1) следует формально проделать такой же пересчет матрицы пересечений, который происходит при добавлении к обычной особенности функции квадрата одной новой переменной (см. п.2.8), и дальше строить диаграмму так, какг
ГЛАВА II
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава посвящена исследованию асимптотик осциллирующих интегралов, т. е. интегралов вида