Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
5.4. Особенности проекций на прямую. Проекцией на прямую
(или здесь просто проекцией) называется тройка E с, (С, 0)А —+(С, 0), где E—росток полного пересечения коразмерности р в пространстве С, имеющий изолированную особую точку в нуле, я: (С", 0)—>¦ (С, 0)—линейная проекция вдоль гиперплоскости С«-1 = я-1 (0)сС". Две проекции E1 с» (С", 0) —* (С, 0) и E2 с» (С", 0)—>(С, 0) считаются эквивалентными, если существует коммутативная диаграмма
E1 с_> (С, 0) —(С, 0)
] 1 1 E2 с* (С», 0)-+(С, 0),
в которой все вертикальные стрелки являются изоморфизмами в окрестности нуля.
Как всегда, особенность проекции E с» (С, 0)—>(С, 0) называется простой, если среди ее малых шевелений содержится конечное число проекций, различных относительно описанной эквивалентности. Простые особенности проекций описаны в [48]. Они существуют при P= 1 и р = 2. Для описания их представителей выберем в пространстве С" такую систему координат (X1, . . ., хп), что проекция я переводит точку (х±, ..., хп) ^Cn и X1 ? С. При р=1 простые особенности проекций существуют при всех ft ^ 2. Они задаются уравнениями Z1 = 0 со следующими функциями fi (x......хп) (здесь q = x% + . . .
A0. Z1 = Xj",
Xfl: fx= X1 + Xil, где Xfl—одна из простых особенностей функций от (п — 1)-й переменной хг, ...,хп (A11, Dfl или Etl, р>0);
Bil: = + + Сц- Zi = X1X2 + х? + q (н > 3);
Ft: Ь = + А + 120
топологичЕСКОЁ СТРОЕНИЙ
tr-л. 1
При /7 = 2 простые особенности проекций существуют при п = 3 Они задаются уравнениями Z1 = /2 = 0 со следующими функциями ft и
/?. i- f = *-*- f-vxyii.^ (2 <?</);
Если зафиксировать линейную проекцию я: (С, 0) —>- (С, 0) вдоль гиперплоскости Cn-1CzC, то ростки полных пересечений E1 и Ei, входящие в эквивалентные особенности проекций Ei с* с» (С", 0) —>- (С, 0) (/=1, 2), получаются друг из друга под действием локального аналитического изоморфизма (С, 0)—>- (С, 0), переводящего гиперплоскость С"-1 в себя. Таким образом, особенности проекции ? с» (Сп, 0)—* (С, 0) соответствует росток полного пересечения E с изолированной особенностью в нуле, рассматриваемый с точностью до локального аналитического диффеоморфизма (С", 0)—«-(С", 0), переводящего гиперплоскость С"-1 с:С в себя. Поэтому особенности проекций являются обобщением и в некотором смысле—смешением краевых особенностей и особенностей ростков полных пересечений, рассмотренных соответственно в пп. 5.2 и 5.3.
В соответствии с пп. 5.2 и 5.3 для краевых особенностей (т. е. для изолированных особенностей ростков функций или гиперповерхностей в пространстве (С, 0), рассматриваемых с точностью до локальных аналитических изоморфизмов пространства (С", 0), сохраняющих гиперплоскость C-1C=Cri) и для изолированных особенностей ростков полных пересечений в пространстве (С, 0), как и для обычных особенностей функций, можно определить целочисленную решетку с целочисленной билинейной формой и выделенные (отмеченные) наборы элементов, порождающие ее. Отличие от обычных особенностей функций состоит в первом случае в том, что среди этих элементов имеются и «короткие» и «длинные» исчезающие циклы (при п з= 3 mod 4 их индексы самопересечений равны (—2) и (—4) соответственно). Во втором случае отличие состоит в том, что набор этих элементов избыточен в том смысле, что их количество больше размерности решетки: они линейно зависимы в ней. Исходя из соображений, описанных в пп. 5.2 и 5.3, для особенности проекции E с» (С", 0) —»- (С, 0) также определяется целочисленная решетка с целочисленной билинейной формой и выделенные наборы элементов, порождающие ее. При этом эти наборы обладают обоими указанными отличиями от случая обычных особенностей функций: они включают как короткие, так и длинные исчезающие циклы, и количество элементов в них больше размерности решетки.
Точная конструкция решетки и отмеченных наборов элементов в ней следующая. Пусть полное пересечение E с» (С, 0) опреде-
(?>2); (k>l). формы пересечении краевых особенностей
121
ляется набором уравнений ft = f2= . . . =fp = 0 (dim E = п—р). Сделав линейную замену общего вида этой системы уравнений, мы можем считать, что система уравнений Z1 = f2 = . .. = fp_1 = О определяет полное пересечение размерности (л—/?+1) с изолированной особенностью в нуле (см. п.5.3). Неособое многообразие уровня F' = F'z. = If1 = Z1, ..., = zp_t} Г) Bp имеет гомотопический тип букета сфер размерности (п—р-\- 1), количество которых не зависит от конкретного выбора линейной замены системы уравнений общего вида. Пересечение этого многообразия уровня с гиперплоскостью Cn-lCCn является неособым (п—/?)-мерным подмногообразием в многообразии F' (опять при общем выборе системы уравнений), а функция fp определяет функцию на многообразии F', имеющую изолированные критические точки. Заменив, если это необходимо, функцию fp на ее малое шевеление, можно считать, что она имеет на многообразиях F' и F' П С"-1 только невырожденные критические точки с различными критическими значениями. Для пары многообразий (F', F' П Сп~г) и функции fp на ней можно реализовать конструкцию, описанную в п.5.2 для пары (С, С"-1). Это означает, что следует рассмотреть двулистное накрытие F' многообразия F', ветвящееся вдоль подмногообразия F' П С"-1, и функцию fp, получающуюся из fp поднятием на пространство накрытия. На многообразии уровня функции fp действует инволюция, переставляющая листы накрытия. В группе целочисленных гомологий неособого многообразия уровня функции fp выделяется подгруппа Н~, состоящая из классов гомологий, антиинвариантных относительно этой инволюции. Подгруппа Н~ и является целочисленной решеткой, сопоставляемой особенности проекции E с* (С", 0)—* (С, 0). Системе путей, соединяющих критические значения функции Jp с некритическим значением (и удовлетворяющей условиям, накладываемым на систему путей, определяющую отмеченный базис), соответствует система «обычных» исчезающих циклов в гомологиях неособого многообразия уровня функции fp на многообразии F': по два для каждого критиче-скоко значения функции fp ( f- и по одному для каждого критического значения функции fp\F'nCri-1- Инволюция переставляет первые из них и действует на вторые умножением на (—1). Разности циклов, соответствующих критическим значениям функции fp і F', и циклы, соответствующие критическим значениям функции fp{F'c\Cл-1> порождают группу Н~ антиинвариантных циклов в гомологиях неособого многообразия уровня функции Jp на многообразии ?¦'. Этот набор циклов и следует рассматривать как отмеченный в целочисленной решетке Н~.
