Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
63
Для доказательства последнего утверждения рассмотрим отображение пространства С"—5 = \(хг, . . ., хп) Z С: Xi Ф Xj) в пространство \(хх, ..., Xn^1) € С"-1: Xi Ф xf), переводящее точку (Xv •••' xn-l> Хп) В (xI' •••' ха-1)- Легко видеть, ЧТО ЭТО OTO-бражение является расслоением со слоем С—{хх, ..., Xn^1) ¦ Поскольку слой этого расслоения имеет тривиальные гомотопические группы, начиная со второй, требуемое утверждение доказывается индукцией по размерности п.
Группа S (п) перестановок п элементов является одной из конечных групп, порожденных отражениями. Действие группы S(n) на пространстве С" перестановками координат приводимо. Оно распадается в прямую сумму двух действий: действия на подпространстве С-1, задаваемом уравнением X1+•..+*„ = О, и тривиального действия на одномерном пространстве X1= ... = хп. На подпространстве С1-1 это действие совпадает с обычным действием группы Вейля типа Ап_1Г изоморфной группе S (п) перестановок п элементов. Объединение зеркал всех отражений в группе S (п) на пространстве С-1 (которыми являются гиперплоскости, задаваемые уравнениями Xi = Xj) и его факторпространство по действию этой группы мы, как и прежде, будем обозначать через 5 и S (это не должно вызвать путаницы). При этом С"—S = (C"_1—S)x X С1, C"/S(n)—S = (C-V-S (п)—2) X С1. Поэтому S (я) = Ji1 (Ca-S)= = я1(С-1—-S), В (п) = ях (Cn/S (п)—S) = ях (C-V-S (п)—S). Описание группы крашеных кос В(п) и группы кос В (п) как фундаментальных групп пространств С-1—5 и С~1/S (п)—S соответственно подсказывает обобщение этого определения.
Пусть W — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями, действующая в вещественном векторном пространстве IRn размерности п. Группа W действует также на его комплексифи-кации С". Можно показать, что факторпространство С/ W изоморфно комплексному векторному пространству размерности п (см. [16]). Пусть {V,-}— множество всех гиперплоскостей в про--странстве IRn, отражения относительно которых принадлежат группе W, V1-Cc С"—их комплексификации. Вне подпространства
-S= U VtC группа W действует свободно. Пусть 2 = S/H^. Фунда-
i
ментальная группа Bw = nx(Ca/W—S) пространства C/W—S называется (обобщенной) группой кос Брискорна группы W; фундаментальная группа Bw = ях(С—S) называется (обобщенной) группой крашеных кос Брискорна группы W. Имеет место точная последовательность 1 —Bw —Bw —>- W —* 1.
Лемма 2. Пространства Сn/W—2 и С—5 являются пространством типа К (я, 1) (для групп Bw и Bw соответственно).
Для группы W типа Ап_1 (группа перестановок п элементов) эта лемма уже доказана. Покажем, как она может быть доказана для групп W типа Bn (изоморфным группам типа Cn) и Dn. 96
топологическое строение
[гл. j1
Естественно, что утверждение леммы достаточно доказать только для пространства Cn—5.
Для группы W типа Bn зеркалами отражений, принадлежащих группе W, являются гиперплоскости [х{ ± = 0} и [Xi = Oj в пространстве С". Используя индукцию, мы можем считать, что пространство {(Xi, ..., xn_j) ? С"-1: х{±х}ф0, Xi Ф 0} является пространством типа К (я, 1). Естественная проекция
С"—5 = {(ХІ, ..., хп) ?С»: Xi ±ХуфО, Х;Ф 0}-+
{(?, ..., xn_i) ? С»"1: X1 ± Xj- Ф 0, X1 0}
является локально тривиальным расслоением со слоем С—{0, ± хи ± х2, ..., ± Х„-Л- Поскольку слой этого расслоения имеет тривиальные гомотопические группы, начиная со второй, отсюда вытекает требуемое утверждение о пространстве С"—S.
Для группы W типа Dn зеркалами отражений, принадлежащих группе W, являются гиперплоскости {Xi ± Xj — 0} в пространстве С". Рассмотрим отображение
С"—S = {(*i, .... хп) ? С": X1 ± Xj Ф О}—
—* {(Уі> •••» Уп-г)?Ъп-Х- УіФУі' УіФ0\,
задаваемое формулами у^=х%—х\. Это отображение является локально тривиальным расслоением. Слой его является аффинной комплексной кривой и поэтому имеет тривиальные гомотопические группы, начиная со второй. Точно так же, как для пространства С"—S, соответствующего группе типа Bn, с помощью рассмотрения проекции С"—>- С"-1 доказывается, что база {(yit .. ., уп-1 ? € С"-1: УіФуj, уіФ0} этого расслоения является пространством типа К (я, 1). Отсюда следует, что и пространство С" — 5 этого расслоения является пространством типа К (я, 1).
В общем случае эта лемма вытекает из следующего общего утверждения, принадлежащего Делиню ([144]). Пусть в пространстве IR" выделено конечное число гиперплоскостей- Vi. Пусть V^crC—их комплексификации. Предположим, что все компоненты дополнения объединения U Vi в пространстве R"
являются открытыми симплициальными конусами (т. е. имеют ровно по га граней). Тогда пространство С—^ U VfC^ является пространством типа К (я, 1).
Из теоремы 8 и леммы 2 вытекает
Теорема 9. Для простых особенностей дополнение De—Se к бифуркационной диаграмме нулей является пространством типа К (я, 1).
О. Ляшко и Э. Лойенга (см. [182]) доказали, что для простых особенностей дополнение Cli-1—Se к бифуркационной диаграмме функций также является пространством типа К (я, 1), где я — подгруппа индекса ц! W |-1 в группе кос Артина из р, нитей 5 зі бифуркационные диаграммы
