Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 34

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 160 >> Следующая


бифуркационные диаграммы

71

СМЫСЛ. Многие из следующих ниже утверждений сохраняются и для неизолированных критических точек, но мы не будем это специально оговаривать.

Определение. 1,-функцией преобразования g: X —»X топологического пространства X (для определенности—конечного клеточного комплекса) называется рациональная функция

Ig (*) = П {det [id-zs, І Ня (Х- /?)]}<-<

<7>0

В этом определении учитываются и нульмерные гомологии пространства X, т. е. гомологии не считаются приведенными ПО модулю точки. Определение имеет смысл и для пары пространств (Xy .У) и преобразования g: X—> X, переводящего подпространство Y в себя. В этом случае в формуле для ^-функции фигурирует действие преобразования g на относительных гомологиях HQ(X, Y- R).

Определение. функцией монодромии особенности / называется ^-функция преобразования классической монодромии h неособого многообразия уровня Vs особенности / в себя.

Для изолированных особенностей имеем Hq(Vs) = O при q-ФО,

п—1. Следовательно, ?f(z) — (l—г) (Zv-Pf (z-!))(-1)"-1, откуда / 2 \ (-1)?-! Pf (z) = f у 'Qf (z~Y) j , где ц—кратность особенности. Та-

ким образом, характеристический многочлен Pf (г) и ?-функция Zf (z) особенности выражаются друг через друга.

Легко видеть, что степень рациональной функции Zlf(Z) (равная степени числителя минус степень знаменателя) равна эйлеровой характеристике % (Ve) неособого многообразия уровня Ve.

Следующий результат позволяет выразить ^-функцию особенности через топологические инварианты дивизоров, вклеиваемых при ее разрешении. Пусть я: (Y, F0)—(С", 0)—разрешение особенности /, Sm—множество точек пространства F0, в окрестности которых функция / о я в некоторой локальной системе координат имеет вид Xl1 (очевидно, что в множества Srn не входят пересечения вклеиваемых дивизоров).

Теорема 10 (Н. А'Кампо [117]).

R(V8)= Em5c (5 J, Zf(Z)= П(1

m> 1 m> 1

Для доказательства пользуются тем свойством, что, если преобразование h: X—сохраняет подпространство F, то t,hx(z) ~ = Cfty (Z)-Sfttx, У) (z), где hx, hy, /і,*, у, — преобразование h, рассматриваемое' на соответствующем пространстве (или паре пространств). Существует отображение ср: Ve—*(/оя)_1(0) (стягивание неособого слоя на особый), при котором точки из Sm имеют по т прообразе®, а прообразы пересечений вклеиваемых дивизоров в количестве k штук являются расслоениями (k—1)-мерных торов. 96

топологическое строение

[гл. j1

Преобразование классической монодромии h можно считать согласованным с этим отображением в том смысле, что оно сохраняет прообразы при отображении" ф точек пространства (/оя)_1(0), действуя на нем тривиально. При этом над точками из множества Sm преобразование h производит циклическую перестановку прообразов. ^-функция циклической перестановки т точек равна (1—zm). Отсюда следует, что ^-функция преобразования классической монодромии h, ограниченного на прообраз ф-1 (Sm) множества Smy равна (1—zm)X[Sm). Над точками из пересечений вклеиваемых дивизоров преобразование h представляет собой диффеоморфизмы торов, которые являются сдвигами и поэтому не дают вклада в ^-функцию.

Идея такой конструкции принадлежит Клеменсу ([137]).

Из формулы для ^-функции особенности, приведенной в теореме 10, вытекает, что все собственные числа оператора классической монодромии изолированной особенности являются корнями различных степеней из единицы. Поэтому некоторая степень (N) оператора классической монодромии имеет все собственные числа, равные единице. В качестве N можно взять число, которое делится на кратности т всех дивизоров, вклеенных при разрешении. Таким образом, имеет место

Теорема 11. Оператор (h—id) является нильпотентным, т. е. (h—id)® = 0 для некоторого k.

Эта теорема принадлежит Брискорну ([14]), Кацу ([166]) И ряду других авторов. Ее обобщение на случай ростка аналитической функции на аналитическом пространстве, все множества уровня которой могут иметь особенности, получено в [176].

Из рассмотрения разрешения изолированной особенности можно получить оценку на величину показателя степени k, который, как нетрудно видеть, равен максимальному размеру жордановых клеток у оператора классической монодромии. Для этого надо взять отображение См—>Сг, переводящее и в z = uN, и рассмотреть над Cu семейство многообразий, индуцированное из семейства {(fori) (х) = z) над C2 при помощи этого отображения. Разрешая слой над нулем, мы получим вклейку, в которой все дивизоры входят с кратностью, равной 1 (т. е. Sm= 0 при m> 1). Оператор h* монодромии этого семейства равен h*f. Пусть Zi—часть слоя над нулем, являющаяся объединением всех пересечений вклеиваемых. неособых дивизоров по і штук. Имеем Z1 = (/о я) ~1 (0) ZD ZdZ2ZdZ3:=) . . . ZDZ„ZDZn+1 = 0. Как и раньше, мы имеем отображение неособого слоя на особый нулевой, которое согласовано с преобразованием монодромии. При этом доказывается, что если а—цикл на неособом слое, который лежит в прообразе множества Zi, то цикл hta—а гомологичен циклу, лежащему в прообразе множества Zi+1. Отсюда следует, что (ft,—id)" = 0, т. е. (hf — id)" = 0. Таким образом, в качестве показателя степени k 5 зі
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed