Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 35

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 160 >> Следующая


бифуркационные диаграммы

73

р теореме 11 может быть взято количество переменных п, и, следовательно, жордановы клетки оператора классической монодромии Л* имеют размеры не более пхп. Тем самым доказана

Теорема 12. Размер клеток жордановой нормальной формы оператора /г, классической монодромии особенности /: (Сл, 0)—> —»-(С, 0) функции п переменных не превосходит пхп.

Например, если /—особенность функции двух переменных, то максимальный размер жордановых клеток ее оператора классической монодромии может быть равен двум. Для особенности / (лт, у) = = (х3 + у2) (х2 + у3) он действительно равен двум. Показать, что оператор классической монодромии особенности / не диагонализи-руется, можно следующим способом. Квадратичная форма особенности / может быть найдена методами § 4. В п. 4.4 показано, что она имеет следующие индексы инерции: положительный индекс инерции р,+ = 1, нулевой индекс инерции H0 = 1, отрицательный индекс инерции = fx—2 = 9. Из формулы Пикара—Лефшеца вытекает, что собственными векторами оператора Ht классической монодромии особенности, отвечающими собственному значению 1, являются элементы пространства Нп_х (Ve), ортогональные в смысле формы пересечений всем исчезающим циклам отмеченного базиса {А,-}, а, следовательно, и всем элементам пространства Hn^1(Vs). Таким образом, для особенности функции / (х, у, t) = f(x, у) +12 подпространство векторов а ? Hn^1(Ve), удовлетворяющих условию h*a = а, одномерно. Для характеристического многочлена Pj (z) имеем Pf (z); = det (z id — К) = det (z ¦ id +L-1Lr) = det (zL +Lr) = = det (zLT + L) = z* det (Lr + z~lL) = z^Pj- (z~l). Следовательно, Pj (z) является возвратным многочленом степени р, (коэффициенты при мономах Zv и zti^ совпадают). Кратность корня возвратного многочлена, равного единице, всегда четна. Поэтому пространство элементов группы гомологий H2 (V8) неособого многообразия уровня особенности f(x, у, t), присоединенных к собственному значению 1 оператора классической монодромии /г», имеет четную размерность и, следовательно, не совпадает с пространством собственных векторов с собственным значением 1. В свою очередь оператор классической монодромии особенности / (X, у) получается из оператора классической монодромии особенности / (х, у, t) умножением на (— 1) и поэтому тоже не диагонализируется (именно—он имеет жорданову клетку размера 2x2, отвечающую собственному значению (— 1)).

Стинбринк ([221]) доказал, что размер клеток жордановой'нор-мальной формы оператора классической монодромии особенности /: (С", 0)—>- (С, 0), отвечающих собственному значению 1, не превосходит (п—1)х(/г—1). См. также п. 13.2.Д.

Для квазиоднородных особенностей /: (С", 0) —- (С, 0) росток / принадлежит своему якобиеву идеалу Jj = (df/dx^ .. д[/дхп), 96

топологическое строение

[гл. j1

а оператор классической монодромии А* имеет конечный порядок, т. е. диагонализируется. Бриансон и Шкода ([131]) доказали, что для произвольных особенностей f: (Сп, 0) —о (С, 0) п переменных п-я степень ростка f принадлежит якобиеву идеалу Jf. При этом, как было объяснено выше, размер жордановых клеток оператора классической монодромии /г* не превосходит пхп. Исходя из этих соображений, Шерк ([210]) выдвинул гипотезу, что если k-я степень ростка f принадлежит якобиеву идеалу Jf, то размер жордановых клеток оператора классической монодромии особенности f не превосходит kxk. В [211] он доказал эту гипотезу. По этому поводу см. также теорему 19 п. 14.3.Д.

Имеется способ построения разрешения особенности по ее диаграмме Ньютона (так называемое торическое разрешение). Для почти всех функций с данной диаграммой Ньютона он действительно приводит к разрешению особенности. Конструкцию этого разрешения можно найти в [18]. См. также § 8.

Исходя из него и теоремы 10, в [231] получено описание ?-функ -ции (или характеристического многочлена) оператора классической монодромии особенности по ее диаграмме Ньютона.

Пусть TczNn—диаграмма Ньютона (N—множество неотрицательных целых чисел). Zt-функцией диаграммы Г назовем функцию

п ^

?г (z) = JX ('Q1 (2))(-1) , где полиномы (z) определены ниже (они

определяются по пересечениям диаграммы Г со всеми возможными /-мерными координатными плоскостями в пространстве R").

Если L—/-мерное аффинное подпространство в пространстве Rra такое, что LnN'2 является /-мерной целочисленной решеткой, то условимся считать /-мерный объем параллелепипеда, натянутого на любой базис в L Л Nn, равным единице. Для множества /<={1, ... ...,я) с числом элементов # / = / положим L1= {k ? Rn: Ai=O при i^I}. Пусть Гу (/) (/ = 1, /(/))—все (/—1)-мерные грани полиэдра LzO Г и Lf (I)—(/—1)-мерные аффинные подпространства, в которых они лежат. Факторгруппа решетки Nn П L1 по подгруппе, порожденной векторами из Nn D Lj (/), является циклической. Ее порядок обозначим через Tnj(I). Пусть Vj (I)-—(/ — 1)-мерный объем грани Tj (!) в пространстве Lj (/). Заметим, что mf (I) (I — 1)! Vf (I) равняется умноженному на Z! /-мерному объему конуса над Г;. (/) с вершиной в начале координат.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed