Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
65
(здесь I W I—порядок соответствующей группы Вейля, a N—число Кокстера, т. е. на языке особенностей —порядок оператора классической монодромии).
Вложение фундаментальной группы Ji1 (Cm""1—Se) дополнения к бифуркационной диаграмме функций простой особенности в группу кос из р. нитей строится следующим образом. Группу кос ИЗ JX нитей можно рассматривать как фундаментальную группу пространства многочленов вида Xtlа^х11'2 + ... + Ci1X-^a0, не имеющих кратных корней. В комплексном векторном пространстве С&71 с координатами (а0, аг, ..., точки, соответствующие много-
членам с кратными корнями, образуют алгебраическую поверхность S. Дополнение к ней является пространством типа К (я, 1), где я— группа кос из р- нитей. Каждой точке v базы С11-1 ограниченной миниверсальной деформации особенности f соответствует функция F (•, v) — шевеление особенности f. Если каждое критическое значение считать столько раз, какова его кратность, то в окрестности нуля в пространстве С" эта функция имеет ровно [л, критических значений. Бифуркационная диаграмма функций Se особенности f выделяется в базе Cm-1 ограниченной миниверсальной деформации тем условием, что ее точкам соответствуют функции F (¦, v), имеющие менее чем р- различных критических значений. Таким образом, при -v ? Ss некоторые критические значения функции F(-, V) совпадают.
Пусть V—точка базы Cp--1 ограниченной миниверсальной деформации, F(-, v) — соответствующая ей функция, Z1, ...,Z11 — ее критические значения в окрестности нуля в пространстве Cra
_ м-
(значения Zi не обязательно все различны), z = S ZiJр-—их среднее
_ і*
арифметическое, Zi = Zi-Z (І= 1 , . . . , fx). Пусть pv (х) = XI (х-Zi) —
і = 1
многочлен степени (А с корнями Z1, . . ., Zli. Поскольку |1
2 Zi = 0, коэффициент при мономе X11'1 в многочлене Pv (х)
? = 1
равен нулю. Поэтому многочлен pv (х) принадлежит пространству С&71 многочленов вида + а^^хУ1'2 + . .. + агх + а0. Ставя в соответствие точке V^Oa-1 многочлен pv (x) ? С #,71, мы получаем отображение Cp--1—^С^1 базы ограничений миниверсальной деформации в пространство С&71. При этом отображение тр переводит бифуркационную диаграмму функций Se в пространство H многочленов с кратными корнями, а дополнение Cp--1 — Se к бифуркационной диаграмме—в пространство С&71 — H многочленов, не имеющих кратных корней. Прямыми вычислениями показывается, что на дополнении к бифуркационной диаграмме Se отображение гр является невырожденным, т. е.
3 В. И. Арнольд и др.96
топологическое строение
[гл. j1
имеет ранг, равный (р,— 1). Прообразом нуля при отображении является множество значений параметров v ? Cm'"1, при которых функция F (•, v) имеет единственное критическое значение. В соответствии со следствием из теоремы 3 отсюда вытекает, что она имеет единственную критическую точку. Таким образом, прообраз нуля при отображении т|э совпадает со стратом р. = const в"базе ограниченной миниверсальной деформации. Для простых особенностей (и только для них!) этот старт состоит из одной точки v = 0. Отсюда следует, что отображение С"1-1—S-C&71 является собственным в окрестности нуля, а его ограничение на дополнение Cm-1—S6. к бифуркационной диаграмме функций определяет накрытие над пространством С&71 — S многочленов без кратных корней. Таким образом, дополнение к бифуркационной диаграмме функций S8 простой особенности является накрытием над пространством типа К (п, 1), откуда следует, что оно само является пространством того же типа. При этом отображение гр индуцирует вложение фундаментальной группы дополнения к бифуркационной диаграмме S8 в фундаментальную группу пространства Cf1J01—S многочленов без кратных корней, являющуюся группой кос из р, нитей.
Если р: E—* В—накрытие, то его группой скольжений называется группа Aut (р) = \h: E—>- Е: h—гомеоморфизм, ph (х) = р (х) для х? Е\. Нетрудно видеть, что группа Aut (р) скольжений накрытия р изоморфна факторгруппе N (Ji1 (Ey)In1 (E), где N (Jt1 (E))— нормализатор подгруппы Jt1(E) в группе Ji1 (?), т. е.{g^ Jt1 (В) X Xgn1(E)g-^n1(E)).
Для простых особенностей группа скольжений Aut (гр) накрытия гр: Сm^1—S8 —о С&71 — S дополнения к бифуркационной диаграмме функций над пространством многочленов без кратных корней, построенного выше, описана в [68]. Она является циклической для всех простых особенностей, кроме A1 и D4. Ее порядок равен числу Кок стер а соответствующей группы Вейля (или, что то же самое,—порядку оператора классической монодромии) для особенностей типов A11 (ілф 1), Dll (цФ 4) и Eв, а для особенностей типов E1 и Ea—половине числа Кокстера. Для особенности THna-D4 Aut (ф) изоморфна Z3 © S (3), где 5(3) — группа перестановок трех элементов; для особенности типа A1 группа Aut (яр) тривиальна.
В вещественном случае, т. е. когда рассматривается вещественная миниверсальная деформация вещественной особенности, Э. Лойенга ([183]) доказал, что дополнение к бифуркационной диаграмме простой особенности имеет стягиваемые компоненты. Эти компоненты взаимно однозначно соответствуют классам W-сопряженных элементов второго порядка в классе смежности Wn, где n?N/W — некоторый элемент второго порядка, W—соответствующая группа Вейля, N—ее нормализатор в группе гвсех линейных преобразований. Группа N/W совпадает с группой автоморфизмов соответствующей классической диаграммы Дынкина.§3]