Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
бифуркационные диаграммы
69
(j"*5/3) П Х*4/3 может быть представлено в виде объединения двух множеств: Х*5/3 и X'. Здесь X'—это множество таких наборов (х, у, и, v) G С18, что у = 0, х является корнем уравнения и(х) = 0 кратности 3 и уравнения Zj(X) = O кратности 4 и, кроме того, многочлены и(х) и имеют другой общий корень крат-
ности 4 для и(х) и 5 для у (л:). Пересечение X" этих двух множеств X*5/® и X' (точнее—его замыкания) состоит из таких наборов (х, у, и, v) QCla, что у = О, X является корнем кратности 7 для уравнения и (х) = 0 и корнем кратности 9 для уравнения и(jc) = 0. Отсюда следует, что v = (с0, . .., u7) = 0, X = O и W0 = .. . .,.=щ = 0. Таким образом, множество X" лежит в множестве X**, но не совпадает с ним. Это означает, что множества Х*а по-разному подходят к разным точкам множества X**, а это и означает, что бифуркационная диаграмма нулей меняется вдоль страта T1** (р, = const).
Нетрудно видеть, что X*4/3—это множество точек z?X, в которых кривая G~1(G(z)) имеет особенность типа Ee, X*5!3 — множество точек z б X, в которых кривая G-1Ifi(Z)) имеет особенность типа E8. Поэтому G(Xf) является множеством (точнее — его замыканием) тех значений (и, v)?Ci%, для которых кривая G"1 (и, и) имеет две особенности типов Ee и Ea. Проведенное рассуждение показывает, что страт бифуркационной диаграммы нулей, состоящий из точек, в которых соответствующая функция имеет особенности типов Ee и E8 на нулевом множестве уровня, меняется (просто исчезает) вдоль семейства р, = const (Т**) особенности X3 + У*-
С. М. Гусейн-Заде и Н. Н. Нехорошев ([259]) показали, что при деформации с постоянной кратностью невырожденного однородного многочлена степени 22 от двух переменных меняется наибольшая из кратностей примыкающих особенностей типа Ak.
Имеется недоказанная гипотеза, состоящая в том, что в базе ограниченной миниверсальной деформации особенности страт р, = = const, т. е. множество значений параметров, при которых соответствующая функция имеет критическую точку той же кратности, что и исходная особенность, является неособым многообразием. А. М. Габриэлов доказал ([37]), что размерность этого множества равна модальности особенности.
Гипотеза о гладкости страта р, = const в базе ограниченной миниверсальной деформации доказана для случая, когда количество переменных п = 2. Первым это сделал, по-видимому, Вол (Wahl J., 1971). По этому поводу см. [132]; см. также статью Тесье [225].
3.5. Разрешение особенности и некоторые свойства оператора классической монодромии. Полезным инструментом исследования топологии особенности является ее разрешение.
Пусть /: (Ся, 0)—о(С, 0)—особенность, т. е. росток голоморфной функции, имеющий в нуле изолированную критическую точку. 96
топологическое строение
[ГЛ. j1
Определение. Разрешением особенности / называется собственное аналитическое отображение я: (F, F0) —* (С", 0) неособого комплексного многообразия F такое, что:
1° отображение л\y-y0 является аналитическим изоморфизмом Y—Y0—- С"—0 (или окрестности пространства Y0 в Y на окрестность нуля в С");
2° подпространство Y0 = я-1 (0) пространства Y является объединением неособых (п—1)-мерных многообразий (дивизоров) на Y, находящихся в общем положении;
3° в окрестности любой точки из F0 == л-1 (0) существует такая локальная система координат у1г . .., уп, в которой/он (^1, . . ., уп)= = у\% - ... ¦ у*"-, якобиан отображения я равен g (ylt ¦ ¦ ¦, уп) у™х- •. -
... -Упп, где g( 0.....0)^=0.
Существование разрешения любой особенности является следствием теоремы Хиронаки ([106]). В случае, когда /—функция двух переменных, ее разрешение может быть построено при помощи нескольких последовательных сг-процессов (см. [115], а также п. 4.3) в особых точках.
Многие топологические характеристики особенности (например, ее кратность, характеристический многочлен оператора классической монодромии и другие) могут быть выражены через топологические характеристики дивизоров, вклеиваемых при разрешении особенности. Прежде чем сформулировать соответствующие результаты, введем некоторые понятия.
Характеристический многочлен Pf (г) (оператора классической монодромии) особенности /—это det (z- id—К\Нп_г (Ve)) (здесь Ve—неособое многообразие уровня особенности /). Корнями характеристического многочлена Pf (2) являются собственные значения оператора /г* классической монодромии особенности.
Через характеристический многочлен Pf (г) особенности / выражается также определитель det S формы пересечений в гомологиях Нп_1 (Кв; Z) неособого многообразия уровня особенности /. Он имеет инвариантный смысл, поскольку определитель замены базиса целочисленной решетки Hn_i(Vz-, Z) равен (±1). Определитель формы пересечений совпадает с определителем матрицы оператора і,: На_г (VE; Z)—і-Я„_1(Уе, oVz\ Z). Если det S =^=0, то с точностью до знака он равен порядку группы Нп_г (VE, dVs\ Z)/Imt*. Имеем
det 5 = det (— Var-1 + (—1)» (Var-y) =
= det (— id + (—1)" Var (Var-x)r) = det (—id + К) = (—I)* Pf (1).
Иногда вместо характеристического многочлена особенности удобнее пользоваться так называемой g-функцией преобразования h классической монодромии особенности. Во-первых, ответы для нее получаются обычно более красивыми, а, во-вторых, ^-функция монодромии определена и для неизолированных особенностей, в то время как характеристический многочлен практически теряет 5 зі
