Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
точку с критическим значением, равным нулю, т. е. имеет кратный корень Xi = Xj. Отсюда видно, что в этом случае определитель — изоморфизм, указанный в теореме 8.
Примерно так же доказывается теорема 8 для других простых особенностей.
Напомним, что пространством типа К (я, 1) называется пространство, фундаментальная группа яг которого совпадает с группой я, а все последующие гомотопические группы (я2, я3, ...) 5 зі
бифуркационные диаграммы
61
тривиальны. Пространство типа К (я, 1) является базой главного расслоения с группой я и с гомотопически тривиальным пространством расслоения.
В [15] доказано, что пространство Сk/W—5/W регулярных орбит действия группы W является пространством типа К (я, 1), где я—-обобщенная группа кос Брискорна группы Вейля W. Если Чу.— группа Вейля типа Ак, то я—обычная группа кос Артина из (?+1) нитей.
Небольшое отступление. Группы КОС.
Для того чтобы изложение было более независимым, приведем некоторые определения и результаты из теории кос. Более подробное изложение можно найти в [15].
Наглядно-геометрическое определение косы состоит в том, что косой называется объект, изображенный на рис. 28. Коса состоит из п непересекающихся нитей в пространстве R3, соединяющих п фиксированных точек на нижнем основании (отрезке) с такими же точками на верхнем основании и идущих монотонно вверх от
Рис. 28.
Рис. 29.
нижнего основания до верхнего. Две косы считаются эквивалентными, если их можно продеформировать одна в другую, не нарушая монотонности нитей и не допуская их пересечений друг с другом. Косы можно перемножать, приставляя одну из них к другой (рис. 29). Относительно такого умножения косы из п нитей (точнее, их классы эквивалентности) образуют группу В (п). Единицей этой группы является «незапутанная» коса, состоящая из вертикальных отрезков, соединяющих точки верхнего и нижнего оснований. Коса, обратная к данной, получается из нее отражением в горизонтальной плоскости.
Нетрудно видеть, что группа В (п) кос из п нитей порождена (п—; 1 )-й образующей ^1, ..., gnгде g,-—коса, «перепутывающая» і-ю и (і+1)-ю нити (рис. 30). Эти образующие связаны соотношениями gigj = gJgi при |t — /|>1, 8iSi+i8i ~ 8і+і8і8і+і (і = 1, ..., (п—2)). Можно показать, что указанные образующие и соотношения определяют группу В(п). Каждой косе очевидным образом соответствует перестановка п элементов. Поэтому определен естественный эпиморфизм группы кос В (п) на группу S (п) перестановок п элементов. Ядро В (п) этого гомоморфизма 96
топологическое строение
[гл. j1
называется группой крашеных кос из п нитей. Крашеная коса-— это такая коса, каждая нить которой возвращается в ту же точку, из которой она выходит.
Более формальное определение группы кос, проясняющее ёе значение для задач анализа, может быть получено следующим образом. Часть пространства IR3, заключенная между горизонтальными плоскостями, содержащими нижнее и верхнее основания, может быть отождествлена с произведением IxС отрезка / = [0, 1] и плоскости комплексных чисел €. При таком отождествлении каждому числу t ? [0, 1] коса непрерывным образом соотносит неупорядоченный набор из п различных комплексных чисел. При этом і = 0 и t = 1 соответствует один и тот же фиксированный набор чисел. Таким образом, группа кос В (п) отождествляется с фундаментальной группой пространства всех неупорядоченных наборов изп различных комплексных чисел. Точно так же группа крашеных кос В (п) отождествляется с фундаментальной группой пространства всех упорядоченных наборов из п различных комплексных чисел-
Пусть С" «{(.Xj, ..., хп): Xi ? С}—пространство упорядоченных наборов из п комплексных чисел, S—объединение всех гиперплоскостей, определяемых уравнениями Xi--Xj, (Сл—5)—пространство упорядоченных наборов из п различных комплексных чисел. Имеем В (п) = я j (Cn—S).
На пространстве Сл перестановками координат действует группа 5 (п) перестановок п элементов. Пространство С"/S (п) является пространством неупорядоченных наборов из п комплексных чисел. Оно изоморфно n-мерному комплексному векторному пространству. Изоморфизм состоит в сопоставлении неупорядоченному набору комплексных чисел
п
(X1, ..., хп) € С"/S (п) многочлена р (х) = JJ (х—Xi) с корнями
і = I
X1, ..., хп (или его коэффициентов, которые с точностью до знаков являются элементарными симметрическими функциями O1, ... ,Ofn от переменных X1, . . ., Xn: O1 = X1+ . . .frXnt . . ., On = X1- . . . -Xn). Пространству 2 = SjS (п) соответствует множество многочленов с кратными корнями. Таким образом, (C"—S)/S (п) — lCnIS (п)—2 является пространством неупорядоченных наборов из/г различных комплексных чисел; группа кос В (п) совпадает с его фундаментальной группой Jtj (Cn/S (ti) — 2).
Имеет место более сильный результат, утверждающий, что пространство (С"/S (п)—2) является пространством типа К (я, 1) для группы В (її) кос из п нитей. Это означает, что Jt1 (Сn/S (п)—2) = = В(п), яА (Сn/S (п)—2) = 0 при &>1. Поскольку пространство С"—S является (я!-листным) накрытием пространства (Сn/S(n)—2), утверждение о пространстве С"/S (п) — 2 эквивалентно утверждению, что пространство С"—S является пространством типа К (л, 1) (для группы В (п) крашеных кос из п нитей). 5 зі бифуркационные диаграммы
