Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы докажем (на первый взгляд) чуть более сильное утверждение, которое в действительности в точности эквивалентно теореме 5.
Пусть (A1, ..., Afe}—набор исчезающих циклов в гомологиях нсособого многообразия уровня особенности /, определяемых системой путей {«,} (і== 1, ..., /г), соединяющих часть критических §3) бифуркационные диаграммы
59
значений шевеления f особенности f с ее некритическим значением z0 и не проходящих (при t=? 0) через критические значения функции /. Предположим, что пути Ui являются несамопересекаю-щимися и не пересекают друг друга в точках, отличных от их концов, совпадающих с Z0.
Теорема 6. Если линейная оболочка исчезающих циклов д ..., Afe в группе гомологий Нп_1 (FzJ инвариантна относительно оператора классической монодромии особенности, то или A- = O, или & = (f).
Доказательство. Будем считать, что циклы A1, ..., Afe (и пути U1, . .., ик) занумерованы в порядке, который фиксируется условием 3° определения отмеченного базиса (см. п. 1.2). Легко видеть, что система путей {«,•; і = 1, . . ., k) может быть дополнена до системы путей {Ui; і= 1, ..., k, ..., ja}, определяющей отмеченный базис A1, . . ., Afe, . .., A11 в группе гомологий Hn^(F2o). Условие инвариантности линейной оболочки элементов A1, ...,Aft относительно оператора классической монодромии /і* означает, что в матрице H оператора /г, в базисе A1, . . ., Afe, .. ., A11 стоят нули на пересечениях первых k столбцов с последними (ja—k) строками. Применяя лемму 1 к равенству H = (—Л)"L-1Lt (где L—матрица формы Зейферта особенности), получаем, что матрица L является прямой суммой матриц размеров kxk и (ja—?)x(fx—k). Следовательно, этим же свойством обладает и матрица пересечений особенности / в отмеченном базисе A1, . .., Att, равная—? + (—1 )"LT. При k Ф 0, fx это означает, что D-диаграмма особенности f распадается в несвязное объединение двух диаграмм (с количеством вершин k и (fx—k)), что противоречит теореме 3.
Следствие. Если оператор классической монодромии особенности является умножением на единицу или на минус единицу, то особенность невырождена, т. е. ее кратность [г равна единице.
Это утверждение (как гипотеза Себастьяни) было доказано Н.А'Кампо в [116]. Там оно было выведено из следующего результата.
Теорема 7. След tr/і» оператора классической монодромии особенности /: (С", 0) —>- (С, 0) функции п переменных равен (—I)"-1.
3.3. Бифуркационные диаграммы простых особенностей. Известно (см. п. 3.6), что для простых особенностей Ak, Dk, Ee, ?,, E8 с нечетным числом переменных группа монодромии совпадает с соответствующей одноименной классической группой Вейля (см. [16]). Эта группа является образом фундаментальной группы дополнения к бифуркационной диаграмме нулей Sg особенности. Для простых особенностей пространство Se может быть получено следующим образом.
Пусть IRfe—векторное пространство, на котором канонически действует группа Вейля W (Ak, Dk или Ek соответственно), С* = = Rfe(^)RC—его комплексификация. Действие группы W на про- 96
топологическое строение
[гл. j1
странстве Rft естественным образом продолжается до действия W на "комплексификации Cfe. Пусть S—объединение нерегулярных орбит действия группы W, т. е. множество точек, на которых действие W не свободно (имеет нетривиальную стационарную подгруппу). Оно совпадает с объединением (комплексных) зеркал, отражения относительно которых принадлежат группе W. Рассмотрим факторпространство Сk/W. Известно ([16]), что оно как аналитическое пространство изоморфно ^-мерному линейному комплексному пространству.
Теорема 8 ([241]). Для простых особенностей Ak, Dk, Ek пара (Ck/W, S/W) изоморфна (в окрестности нуля) паре (Z)e, 2е), где Ze—бифуркационная диаграмма нулей особенности.
Пример. Пусть f(x) = xk+1 (особенность Ak). В этом случае группа Вейля W является группой перестановок (& + 1)-го элемента. Действие ее на пространстве Cft определяется следующим образом. Пространство Cft вкладывается в пространство Cft+1 на еди-
к+ 1
ницу большей размерности в виде гиперплоскости 2 -*j=0t а дейст-
і = і
вие группы W на нем получается сужением ее действия на пространстве Ck+1 в виде группы перестановок координат. Изоморфизмом фак-торпространства Ck+1/W с пространством Ck+1 является отображение, переводящее класс точки (X1, ..., xk+1) в точку ((T1, . . ., ok+1), где с,- = су,- (X1, ..., xk+1) — г-я элементарная симметрическая функция от переменных jf1, . . ., Xk+1 (CT1 = x1+ . . . + xft + 1, . . ., CTfe+1 = = x1- .. . -xk+1). To, что это отображение является изоморфизмом комплексных многообразий, следует из основной теоремы о симметрических функциях (любая аналитическая симметрическая функция от x1, ..., хк+1 может быть единственным способом представлена в виде аналитической функции от симметрических многочленов CT1, ..., crft+l). При этом изоморфизме пространство Ck/W изоморфно отображается на координатную гиперплоскость CT1 = O. Зеркала (нерегулярные орбиты) определяются условием Xi = Xj-. Миниверсальная деформация особенности f (х) имеет вид F(x,t0, ..., tk_1) = xk+1 + tk_1xk~1-i-. .. + Z1*+ /„• пРи этом = (-1)*+! 'ctft+,.;(x1, ..., xk+1), где (x1, ..., xA+1) —корни уравнения F (х, t0, ...,^_г)=0, ^ = X1+...+xft+1 = 0. Бифуркационная диаграмма нулей состоит из тех значений параметров t — (t0, tx, . .., при которых функция F (¦ ,t) имеет критическую
