Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 32

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 160 >> Следующая


бифуркационные диаграммы

67

О. В. Ляшко ([70]) описал все распадения простых особенностей, встречающиеся в базе ее ограниченной миниверсальной деформации. Пусть Д (х) (X^ (С, 0))—деформация особенности f: (С", 0) —* (С, 0). Говорят, что при деформации Д особенность / распадается по типу X = (X1, ..., Xk), где Xi = (Xil, ..., Xij.), если для достаточно близких к нулю (но отличных от него) значений параметра X функция Д имеет (в малой окрестности нуля в пространстве С") k различных критических значений z1, ..., zk, причем критическое значение z1 достигается в j; критических точках, в которых функция Д имеет особенности типов Xii, .. ., Xiу-Будем говорить, что D-диаграмма E (в отмеченном базисе A1, ..., Afl) распадается по типу (E1, . .., Ek), где Ei = (Eil, . . ., если:

I0 [Ei} — разбиение множества вершин диаграммы E на непересекающиеся подмножества, причем вершины каждой из диаграмм Ei (базисные исчезающие циклы) занумерованы в диаграмме E последовательными целыми числами;

2° вершины диаграммы Ei соединены между собой ребрами той же кратности, какой они соединены в диаграмме Е;

3° Eij—компоненты связности диаграммы Ei (/ = 1, ...,/,•).

Распадение особенности f по типу X = (X1, ..., Xk) (Xi = = (X11, ..., Xij.)) называется согласованным с распадением ее диаграммы E по типу (.E1, ..., Ek) (Ei = (Eil, ..., Eij.)), если для любого і набор Eil, . . ., Eij. является набором /)-диа-грамм критических точек X11, ...» XiJ., отвечающих г'-му критическому значению. Легко показать, что если особенность f распадается по типу X = (X1, ..., Xk), то'^существует такой отмеченный базис {Ая}, в котором D-диаграмма E особенности f распадается по і типу (E1, .. ., Ek) согласованно с распадением особенности. О. В. Ляшко доказал, что для простых особенностей имеет место и обратное утверждение: если диаграмма E простой особенности f в некотором отмеченном базисе распадается по типу (E1, Ek) (Ei = (Eil, . . ., Eij.)), то существует деформация особенности /, при которой она распадается согласованно с распадением диаграммы Е.

Более подробное описание всех распадений простых особенностей см. в [70].

3.4. Страт Jit = Const и топологический тип особенности. Деформациями, мало меняющими топологию особенности, должны быть деформации, сохраняющие ее кратность.

Действительно, для количества переменных пФ 3 Ле и Рама-нужам ([178]) доказали, что при такой деформации не меняется топологический тип особого множества уровня (точнее—пары (Вр, Г1 (0)П5Р), где Bp—шар достаточно малого радиуса р с центром в критической точке) и не меняется дифференцируемый тип

3* 96

топологическое строение

[ГЛ. j1

расслоения Милнора. Ограничение пФ 3 происходит из-за того, что при доказательстве используется теорема об /г-кобордизме.

Тимурян ([229]) доказал, что при деформации с постоянной кратностью не меняется и топологический тип функции. Это означает следующее. Пусть F (х, t)—гладкая по t € Rp деформация особенности f : (С, 0) —(С, 0)(F(x, 0) = /(*)) такая, что при любом t росток F ( , t) имеет в нуле критическую точку одной и той же кратности р, = р, (/) с критическим значением, равным нулю. Тогда существуют окрестности U нуля в Слх IRj01 ?У0 нуля в Сл и D нуля в IR* и гомеоморфизм a: U —»- U0 xD (а (0, t) = = (0, ()), делающий коммутативной диаграмму

U ^U0XD ]1Я I^Xid С Д-СXD

(здесь л—проекция на первый сомножитель). Для п — 3 см. [328].

Легко показать, что вдоль страта р, = Const не меняются матрица пересечений и группа монодромии особенности.

Однако другие характеристики особенности, имеющие «более аналитический» характер, могут меняться. Так, Ф. Фам показал ([197]), что при деформации с постоянной кратностью может меняться топология бифуркационной диаграммы нулей особенности, а точнее—ее разбиение на части в соответствии с особенностями нулевого множества уровня.

Чтобы построить такой пример, рассмотрим особенность f (х, у) = у3-\-х°, кратность которой равна 16. Ее миниверсальная деформация имеет базу размерности 16 и задается формулой

F (х, у, и, V) = у3 + и (х) у + V (х),

где U(X) = U0-J-U1 X+. . .-\-щх\ v(x) = v0-\-v1x-\- . . . ^-V1X"1 + Xs, и = (и0, U1, ..., щ), V = (vt, V1, ..., V7). Пусть X =/^1(O) с: С18— нулевое множество уровня деформации F и G:X——ее проекция на базу деформации. Обозначим через Х*а (аналитическое) множество точек г^Х, в которых кривая G~1(G(z)) имеет степень 3 (т. е. локально задается уравнением, принадлежащим кубу максимального идеала) и порядок касания ^a. Нетрудно видеть, что множество Х*а состоит из четверок (х, у, и, V), для которых у = 0, X является корнем уравнения и (X)=Q кратности 2а и корнем уравнения v(x) = 0 кратности ^ За. В частности, X** = Х*ъ ~ \ (х, у, и, V): X = у = 0, и = 0, Ui = O для і < 6}. Проекция T** множества X** на базу миниверсальной деформации имеет размерность, равную двум, и является стратом р = const в ней.

Рассмотрим множество T*6/3 = G (X*5/3). Оно состоит из наборов (и, v) 6 CJ% таких, что полиномы и (х) и v (х) имеют общий корень кратности 4 для и (х) и кратности 5 для v (х). Множество §3)
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed