Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
В этой форме неравенства Петровского—Олейник обобщены на случай конечнократной критической точки гладкой функции.
Пусть f: (С", 0)—, (С, 0)—росток голоморфной функции в конечнократной критической точке. Предположим, что росток f, ограниченный на вещественное подпространство IR^crС", принимает только вещественные значения. Рассмотрим на IRn в окрестности начала координат векторное поле grad f ]R«. Обозначим через ind индекс его особой точки 0.
Теорема 10 (см. [7]). Если п = 2k четно, то
где h%;J[—число Ходжа смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке роста f. Если л= 2/г—1 нечетно, то
где hfjJl—число Ходжа смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке OgC4+1 ростка f (x)-j-z2 функции (п+1)-й переменной.
Замечания. 1. При п—2 из теоремы следует, что модуль индекса конечнократной особой точки 0 градиента вещественной функции двух переменных с фиксированным многоугольником Ньютона не превосходит числа внутренних целых точек на диаграмме Ньютона (см. [7], а также п. 13.3.Г).
2. Как и в случае неравенств Петровского — Олейник, индекс может быть выражен через эйлеровы характеристики локальных многообразий уровня ростка f |Rn. А именно, пусть Xt—слой расслоения Милнора критической точки ростка f. Обозначим его вещественную часть Xt п IR" через IRXt. Обозначим через %+ (соответственно %_) приведенную (уменьшенную на 1) эйлерову характеристику многообразия IRXt при положительных t (соответственно при отрицательных t). Легко доказывается (см., например, [7]).
Лемма I. Индекс особой точки 0 векторного поля gradf| Rn связан с приведенными эйлеровыми характеристиками вещественных локальных многообразий уровня ростка f | rп соотношениями
3. Для числа h^-Ji, участвующего в теореме, вне зависимости от четности числа п есть единое выражение через спектр критической точки ростка f: это число равно количеству спектральных пар равных (n/2—1, п—1). При n = 2k это утверждение очевидно, при я = 2k—1 нужно воспользоваться следствием теоремы 13.7. Отметим, что (п/2 —!, п — 1)—центр симметрии набора спектральных пар.
I ind 1 < hfcJl,
ind j <
X + , если n нечетно. Я 4] смешанная структура ходжа
316
4. Прототипом неравенств теоремы является наряду с неравенствами Петровского—Олейник следующее неравенство В. M.. Харламова [101]:
|Х(Л) —1|<Л*.А—1,
где А—произвольное неособое вещественное проективное многообразие размерности 2k, hh' k — число Ходжа чистой структуры Ходжа в когомологиях комплексификации многообразия А.
Другие ограничения на расположение вещественного алгебраиг ческого многообразия см. в работах В. И. Арнольда, О. Я. Виро, Д. А. Гудкова, В. И. Звонилова, В. В. Никулина, О. А. Олейник, И. Г. Петровского, Г. М. Полотовского, В. А. Рохлина, Р. Тома, В. М. Харламова, цитированных в конце книги.
5. Оценка, указанная в теореме, служит примером следующей общей схемы рассуждений в вещественной геометрии (см. В. И. Арнольд [7]). Для оценки какого-либо инварианта вещественного топологического типа подыскивается подходящий инвариант комплексного объекта, мажорирующий первый. Инварианты комплексных объектов постоянны для почти всех членов комплексного неприводимого семейства (так как невырожденные случаи соответствуют комплексной гиперповерхности в пространстве параметров семейства, а дополнение к такой гиперповерхности связно). Поэтому инварианты комплексного объекта вычисляются в терминах дискретных данных задачи (степень, многогранник Ньютона и т. п.). Таким образом, оценка инвариантов вещественного топологического типа разбивается на две задачи: отыскание мажорирующего инварианта комплексного объекта и его вычисление через дискретные данные.
6. Сформулируем нерешенную задачу [7]: дать неулучшаемые -оценки (через числа Ходжа (?)) для индивидуальных чисел Бетти локального многообразия уровня вещественной гладкой функции в окрестности вырожденной критической точки, в частности, для числа Ь0. Быть может, легче оцениваются числа b0, b0—Ьг, b0—b^b^,. . ., а также комбинации локальных типовых чисел Морса M0, M0 — —M1, M0 — M1-I-M2,- ¦ где Mi—число сливающихся в исходной критической точке невырожденных критических точек индекса і для какой-либо морсовизации исходной критической точки.
В заключение пункта укажем перестройки поверхностей уровня функции трех переменных в окрестности простой или унимодальной критической точки.
Хорошо известно, что в окрестности невырожденной критической точки функция в подходящих переменных — квадратичная форма. Поэтому, в зависимости от сигнатуры квадратичной формы, имеются две возможности. В первом случае поверхности уровня — сферы и пустые множества (в зависимости от значения уровня), а во втором случае — однополостные и двуполостные гиперболоиды. Оказывается, что в окрестности простой или унимодальной критической 298 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [ГЛ. IIl
точки функции трех переменных поверхности уровня перестраиваются десятью указанными ниже способами.
Перестройка поверхностей уровня в окрестности критической точки с нулевым критическим значением — это пара поверхностей малого положительного и малого отрицательного уровня, лежащих в шаре малого радиуса с центром в критической точке. Такая пара задается разбиением сферы малого радиуса с центром в критической точке нулевой поверхностью уровня на две части: множество, на котором принимаются положительные значения,— диффеоморфко поверхности малого положительного уровня, множество, на котором принимаются отрицательные значения,— диффеоморфно поверхности малого отрицательного уровня, множество нулевых значений — гладкое одномерное многообразие (объединение «овалов»); см. [79].
