Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 145

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 160 >> Следующая


Будем говорить, что свойство инф. невырожденности k-x присоединенных отображений периодов является общим при данном k, если струи, определяющие инф. невырожденные отображения, составляют в пространстве струй достаточно высокого порядка дополнение к собственному аналитическому подмножеству. § 15] отображение периодов и форма пересечений

309

Б. Невырожденность и устойчивость.

Теорема 1 (см. [27], [22, § 10]). Для любой формы со и любого если k-e присоединенное отображение периодов

формы со инф. невырождено, то оно невырождено.

Доказательство. Как в теореме 12.2, докажем, что квадрат определителя матрицы, составленной из координат векторов {z>t-} в ковариантно постоянном базисе, в произвольной неоеобой точке дискриминанта имеет нуль порядка не ниже чем (п—2k—2). Как в следствии 1 теоремы 12.2, заключим, что квадрат определителя не обращается в нуль на Л\2 в достаточно малой окрестности начала координат в Л. Это означает, что в окрестности начала координат в Л матрица Якоби отображения Р% невырождена.

Теорема 2 (см. [27], [22, § 10]). При & = 0 свойство инф. невырожденности общее. Если форма пересечений в Hп_х (Х^, С), X ? Л\2, невырождена, то свойство инф. невырожденности общее при любом k^O.

Замечания. 1. В [27] доказано общее утверждение: если среди спектральных чисел критической точки ростка f нет целых чисел, меньших k, то свойство инф. невырожденности общее для этого k. Теорема 2 вытекает из этого утверждения и теоремы 14.3.

2. Отметим следующее следствие леммы 12.3: если для данного k^Q существует инф. невырожденное отображение периодов Р%, то свойство инф. невырожденности для этого k общее.

Определим понятие эквивалентных отображений периодов. Неформальное определение: два отображения периодов назовем эквивалентными, если существует диффеоморфизм пары Л, 2, обладающий свойством: первое отображение равно суперпозиции диффеоморфизма и второго отображения. Это определение требует уточнения ввиду неоднозначности отображения периодов. Кроме того, мы будем рассматривать диффеоморфизмы не всего Л, а лишь окрестности начала координат.

Определение. Два отображения Pt, P^ назовем эквивалентными, если существует окрестность U начала координат в Л и непрерывное отображение H: U х [0, 1], обладающее свойствами:

а) H (•, 0)—тождественное отображение;

б) H (•, s) при любом s?[0, 1] — голоморфное отображение с ненулевым якобианом;

в) при любом s?[0, 1] точка H (X, s) принадлежит 2 тогда и только тогда, когда X ?2;

г) U[\H(U, 1) содержит начало координат;

д) для любого X?U\(U П2) вектор Pa(X), параллельно перенесенный в связности Гаусса—Манина вдоль кривой H (X, ¦) в точку H (X, 1), равен значению в этой точке сечения P^.

Теорема 3 (см. [27]). 1. Любое инф. невырожденное k-e присоединенное отображение периодов Р% устойчиво, т. е. k-e присоединенные отображения периодов Р\ для всех форм rj, близких к аз, эквивалентны Р%,. 310 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil

2. Если f—квазиоднородный росток, то все инф. невырожденные k-e присоединенные отображения периодов эквивалентны.

Доказательство. Пусть форма со зависит от параметра, и при нулевом значении параметра соответствующее k-e присоединенное отображение периодов инф. невырождено. Докажем, что для всех малых значений параметра соответствующие k-e присоединенные отображения периодов эквивалентны. Для этого построим зависящее от параметра голоморфное векторное поле в окрестности начала координат в Л, которое при каждом значении параметра касается 2 и поток которого устанавливает одновременно требуемую эквивалентность всех отображений с малыми значениями параметра. Поле строится сначала на Л\2, затем проверяется, что поле голоморфно продолжено на S и это голоморфное продолжение касается 2.

Легко видеть, что требуемое поле на Л\2 существует и единственно. Действительно, рассмотрим k-e присоединенные отображения как многозначные отображения в когомологии отмеченного слоя. Каждая кривая потока требуемого поля должна соединять точки с равными образами относительно k-x присоединенных отображений периодов рассматриваемого однопараметрического семейства. Поскольку при малых значениях параметра эти отображения в окрестности каждой точки являются диффеоморфизмами в когомологии отмеченного слоя, через каждую точку из Л\2 можно провести — и только единственным способом — параметризованную кривую точек, имеющих единый образ.

Утверждение о том, что построенное поле голоморфно продолжается на 2 и голоморфное продолжение касается 2, достаточно проверить около неособых точек дискриминанта. Тогда в произвольной точке дискриминанта утверждение будет следовать из стандартной теоремы о стирании особенностей в коразмерности 2. Проверка утверждения около неособых точек дискриминанта проводится с помощью явных формул, аналогичных формулам леммы 12.2 (при k=0 — с помощью формул леммы 12.2); см. [27].

Вторая часть теоремы следует из первой части и теоремы В. М. Закалюкина [245], утверждающей, что для квазиоднородного ростка f векторное поле на Л, касающееся дискриминанта, необходимо равно нулю в начале координат.
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed