Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 5 (см. [242]). Значения геометрических сечений deyx примитивных форм <?>т, шт, ортогональны относительно формы S*, если сумма поряЬков форм (т. е. число I (т) +1 (т')) не является целым числом или эта сумма меньше (п—2). Существует допустимый линейный функционал а, на локальной алгебре Q, oблadaющuй свойством: Ьля любых двух примитивных форм в>т, <*>,„,, сумма nopяdкoв которых равна п—2,
S* (s [(oj, s KJ) = const • a (Xm X"1') tn~*/ (R (т) - R (т')), 290 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
где const = l, если, п нечетно, const = Z (от) — l(m'), если п четно; s [ш]—геометрическое сечение формы со; t—координата в базе расслоения Милнора.
Пример. Пусть f, I—из примера 1. Все формы &т, т?І, примитивны. Существует константа с Ф 0, обладающая свойством:
(s [com], s [©„,]) = ctt(I (от) ¦ I (от'))
для любых от, от' ? I, для которых І (от) 1 (от') = 1. На остальных парах форм а>т, а>т, форма S* равна нулю.
Б. Смешанная структура Ходжа и деформации. Предположим, что критическая точка голоморфной функции при деформации функции распадается на несколько более простых критических точек.
Проблема. Как связаны смешанные структуры Ходжа исходной критической точки и критических точек, полученных при распадении?
Вероятно, имеются формулируемые в терминах смешанных структур Ходжа «законы сохранения» для распадений критических точек. Многочисленные примеры подсказывают следующую гипотезу.
Упорядочим спектр критической точки: Ct1 ^ а2 . CCm,.
Гипотеза (В. И. Арнольд [124]). Спектр полунепрерывен в следующем смысле: если критическая точка P примыкает к (более простой) критической точке P'(с р.' < р.), то
Замечания.1. Даже в простых и явно вычислимых случаях, таких как квазиоднородный случай или случай критической точки функции двух переменных с невырожденной главной частью ряда Тейлора, эта гипотеза является нетривиальным арифметическим утверждением о целых точках внутри выпуклых полиэдров.
2. В. В. Горюнов [47] проверил гипотезу для примыканий простых критических точек к простым, для примыканий унимодальных критических точек к унимодальным, для примыканий бимодальных критических точек коранга 2 друг к другу; см. [47] и таблицу спектров на стр. 276.
3. Симметрия спектра относительно точки я/2—1 доказывает гипотезу для случая, в котором критическая точка P' невырождена.
4. Из симметрии спектра относительно точки п/2 — 1 и гипотезы следуют двусторонние неравенства Например, если от сложной критической точки отщепляется одна морсовская точка (р,= р,' -J-1), то спектр точки P' разделяет спектр точки Р.
Отношение между спектрами точек Р, P' такое же, как между полуосями эллипсоида в Rli и полуосями его сечения подпространством Rli'.
5. Гипотеза влечет полунепрерывность размерностей пространств ходжевой фильтрации, а именно, полунепрерывность чисел
А' = 2 2А*- т, Ar = 2 2h*>m.
r<ft т r>k т Я 4] смешанная структура ходжа
291
6. В частности, для критической точки функции двух переменных эти полунепрерывности сводятся к полунепрерывности рода g слоя расслоения Милнора и полунепрерывности «корода» u—g (в этом случае слой — риманова поверхность эйлеровой характеристики 1—и с и+1—2g «дырами»). Полунепрерывность обоих чисел очевидна (полунепрерывность «корода» следует из мономорфности вложения гомологий, исчезающих в более простой точке, в гомологии, исчезающие в более сложной критической точке).
7. Сформулированная гипотеза является исправлением и обобщением гипотезы о полунепрерывности показателя осцилляции критической точки вещественной аналитической функции (см. п. 6.6, 9.2, 13.1.Г, 13.3.В, [4, 5, 122]).
Рассмотрим деформацию исходной критической точки Р. Предположим, что в процессе деформации критическая точка не распадается, т. е. при каждом значении параметра деформации имеется ровно одна критическая точка кратности р.
Теорем а 6 (см. [19, 23]). При таких деформациях спектр постоянен.
Замечания. 1. Утверждение теоремы является вариантом утверждения гипотезы Арнольда для случая р=р'.
2. В [23] доказано, что подпространства весовой и ходжевой фильтраций голоморфно изменяются при изменении параметра деформации.
3. Из теоремы 6 следует, что наибольший возможный порядок интеграла голоморфной формы по классам ковариантно постоянного семейства гомологий, исчезающих в критической точке (т. е. первое спектральное число), не изменяется при указанных деформациях. Это означает, что если при некоторой деформации критической точки наибольший возможный порядок изменяется, то при деформации не сохраняется кратностью критической точки (т. е. критическая точка распадается). Из этого рассуждения извлекается формулируемая ниже теорема 7.
Рассмотрим росток голоморфной функции f: (С", 0)'—»-(С, 0) в критической точке кратности р и его деформацию F: (C"XCft, 0x0)—»-(С, 0). Стратам р = Const деформации называется росток множества (Л, 0)сг (Cfe, 0), состоящего из всех значений параметров при которых функция F (•, X) имеет критическую точку кратности р с нулевым критическим значением.
