Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из включений членов ходжевой фильтрации в члены третьей фильтрации вытекает следующая теорема.
Теорема 15 (см. [19, 22]). 1. Всякий k-кратный корень приведенного многочлена Бернштейна больше k—га.
2. Если а ?[/?, /7+1) (где р—целое число)—k-кратный корень приведенного многочлена Бернштейна, то на интервале (—ra+?—р, 1) среди членов арифметической прогрессии L (ехр (—2яіа)) имеется не менее k корней (подсчитанных с кратностями) приведенного многочлена Бернштейна.
3. Приведенный многочлен Бернштейна b (s) делится на (s—а)" тогда и только тогда, когда а > 0 и оператор монодромии имеет жорданову клетку размера га с собственным числом ехр (2яїа). b(s) делится на (s—а)"-1 при целом а тогда и только тогда, когда а = 0 и оператор монодромии имеет жорданову клетку размера п—1 с собственным числом 1.
Теорема утверждает, что большая часть корней приведенного многочлена Бернштейна расположена справа от точки S = I —л/2 (ср. с симметриями спектра в п. 13.3). Я 4] СМЕШАННАЯ СТРУКТУРА ХОДЖА
303
Корни многочлена Бернштейна могут изменяться при деформации критической точки ростка в страте р, = const.
Пример (см. [210]). Пусть f (х, у) = ах:5 + у6 + Xі у, а?С — параметр. При а = 0 корни приведенного многочлена Бернштейна равны {//24}, где 1 = -15, —11, —10, —7, —6, —5, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 15. При аф0 корни приведенного многочлена Бернштейна равны {//24}, где I = —7, —6, —5, —3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15.
В примере корни перескакивают вниз при а—>-0. В [230] доказана теорема, утверждающая, что это явление типично, и в терминах третьей фильтрации объясняющая, как могут изменяться корни многочлена Бернштейна при деформациях критической точки вдоль страта p. = const.
Укажем работы, имеющие отношение к многочлену Бернштейна: [198, 199, 236—238].
Д. Смешанная структура Ходжа и локальная алгебра критической точки. Пусть f: (Сл, 0)—0) — росток голоморфной функции в р,-кратной критической точке, f: X——специализация ростка. В этом пункте рассматриваются голоморфные дифференциальные га-формы на X с точностью до форм, делящихся на df, т. е. классы эквивалентности Qn (X)/df Д ДО"-1 (X), где Q.P (X)—пространство голоморфных дифференциальных р-форм на X. Каждому классу эквивалентности ставится в соответствие сечение подходящего расслоения, построенного из весовой и ходжевой фильтраций когомологического расслоения Милнора критической точки ростка. Это сечение называется оригинальным коэффициентом класса эквивалентности. Соответствие, относящее классу эквивалентности оригинальный коэффициент, устанавливает связь пространства Qn(X)/df/\Qn~l(X) с когомо-логиями, исчезающими в критической точке ростка. Приводится пример использования этой связи.
Замечание. Формы из Q*(X) имеют вид Hdx1A ••• Adxn, формы из df A ?2"-1 (X) имеют вид 2(—l)khkdf Zdxk^dx1 А ¦ ¦ • Adxn. Поэтому, если X достаточно мало (а это всегда предполагается), то ?2" (X)Idf A Q"-1 (X)—р,-мерное векторное пространство над С (как и локальная алгебра С {х}/(df/dx)).
Укажем конструкцию оригинального коэффициента. Зафиксируем класс эквивалентности и рассмотрим верхнюю грань порядков форм, принадлежащих классу. Верхнюю грань назовем ходжевым числом класса эквивалентности.
Теорема 16 (см. [22, § 9]). Xodoiceeo число класса равно +оо тогда и только тогда, когда этот класс есть класс нулевой формы (т. е. совпадает с df Д Q"-1 (X)).
Предположим, что выделенный класс не содержит нулевую форму. Среди форм класса, имеющих наибольший порядок, рассмотрим только те формы, у которых главная часть является сече- 304 интегралы голоморфных форм. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
ниєм подрасслоения весовой фильтрации с наименьшим номером. Этот наименьший номер назовем весовым числом класса.
Пусть а, I — ходжево и весовое числа класса соответственно. Главная часть каждой дифференциальной формы класса, удовлетворяющей двум предъявленным выше условиям, проектируется в сечение расслоения grft F grz W (/*), где k = n —1+[—а] (определение gr* F grr W (f*) см. на стр. 271).
Теорема 17 (см. [22, § 9]). Это сечение не зависит от формы класса, удовлетворяющей двум предъявленным вьиие условиям, и является ненулевым сечением.
Указанное сечение расслоения gvk FgvlWtf*) называется оригинальным коэффициентом класса эквивалентности. Формы класса, имеющие порядок, равный ходжеву числу класса, и у которых главная часть является сечением подрасслоения весовой фильтрации с номером, равным весовому числу класса, называются оригинала ными формами (ср. с [21, 22]).
Пусть со ? Q4 (X)—форма порядка а. Предположим, что главная часть формы является сечением весового подрасслоения с номером / и не является сечением весового подрасслоения с номером I—1. Тогда главная часть формы со проектируется в сечение расслоения grfeFgr, W (/*), где k = n —1+[—а].
Теорема 18 (см. [22, § 9]). Если сечение подрасслоения gхк F grz W (J*), индуцированное главной частью формы ю, не является нулевым сечением, то форма со является оригинальной формой в своем классе эквивалентности.
