Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Такое разбиение сферы удобно описывать графом, вершинам которого приписаны знаки + или —. Если задано разбиение, то его связные области — это вершины, графа (взятые со знаком функции в этой области), вершины соединены ребром, если области соседние. Из односвязности сферы следует, что этот граф — дерево. Например, для функции х2+у2—Z2 этот граф — три вершины, связанные двумя отрезками, крайние из которых имеют знак —.
Если функция зависит от двух переменных (от одной переменной), то ее перестройка в окрестности критической точки задается разбиением окружности (пары точек) малого радиуса на две области — положительных и отрицательных значений функции. Такое разбиение определяются количествами связных компонент этих областей — парой чисел (&„+, bo) называемой далее типом перестройки .
В формулируемой ниже теореме используются буквенные обозначения критических точек функций, приведенные в§ 17 ОДО-1. Буквы имеют индексы +, —, ±. Их столько, сколько знаков ± в соответствующей формуле в §17 ОДО-1, или на 1 больше. В этом случае лишний знак — это знак параметра а в соответствующей формуле. При этом порядок индексов в обозначении совпадает с порядком знаков в формуле. Предполагаются выполненными ограничения, указанные в § 17, кроме того, в Tp q r р, q, г>2.
Теорема (С. Ю. Оревков). 1. Критические точки функций одной переменной имеют перестройки трех типов-, тип (2,0) — минимум—имеют A%k+], тип (0,2)—максимум — имеют A^k +1, тип (1,1) имеют Aik.
2. Простые и унимодальные критические точки с нулевой 2-струей функций двух переменных имеют перестройки линий уровня следующих типов. Тип (1,0) имеют критические точки: X^+ при а > — 2, Xgf2^, Ir^+M, Yr', тип (0,1) имеют при а< 2, F^VTis, Y~\ тип (1,1) имеют Dtk, Eat Ei, J+ при
4, </i"o+2A> Jl0 + 2kl Хв + aft+l» X0 + 2ft+1, Y2r, 2S+1I F2r, 2S+l! тип
(2,2) имеют D&+1, E7, X+~, X"\ Jfah2khl, X^, X^fc2L Я 4] СМЕШАННАЯ СТРУКТУРА ХОДЖА
299
Yfr. ts, Yfr^ft 2S+1; тип (3,3) имеют D^k, J10, Ji0 при аа> 4,
J 10+2ft, J10 + 2А, Хо+2к+1, Xj+2i+1, Y^rTzs + l, Y^nts + i, тип (4,4) имеют ХГ при а < 2, Х9~ при а > 2, X^fel Х+-&, 5?,
у- +
¦* 2Г, 2S'
3. Унимодальные критические точки функций трех переменных имеют перестройки поверхностей уровня, типы и
t—z S-5—s ї—S-s г—S—г—5 S-I^j 3—1^5- vS^a
(1.1) (2,1) (1.2) (2.2) <3,1) (1,3) (4,1) (1,4)
Рис. 84.
графы которых указаны на рис. 84. Тип (1,1) имеют PJ при
^2 -f ^8 + 2*' Ril, 2m> Rzltimi RtlX, 2m+l, Ril+l, 2m+l,
-ftjn+i, Ttp~fa, 2r+1, 71?+lt 2r+1 (четное число плюсов),
Tip+1, m, ?12, ?14, 1^12» Qio. Qi2. 532. ^iVfc- Tun (2,1) имеют
n++ n----ТЛ------rp—±± nr+ p-
~8 + 2fe+l, *8 + 2ft + l> Д21. 2m + l, 1 2p, 2<7, 2Г, •< 2p, 2<7+l, 2Г + 1, 1 2p, m, -cISl
Z1V, Wifc3-, Q1I, Sr1, Zr1. Twn (1,2) имеют Pf+2*+1, РГ+2/t+i*
r> + ± лг>+ + — /т, + ±± /f<- P+ 7±+ Т|7±+ /-) - C +
ДгI, 2m + l, 1 2P. 2<7, 2/-> 1 2p, 2(7 + 1, 2Г+1, ¦< 2p, m, -cISj ^"13 > " 13 і till, °ll>
Zii- Tun (2,2) имеют Pf при a2 > 4, P8Vaft1 -^Г+г*. am+i»
RalXl. am + l, Risin + і) ^m^+^? + 1.2/-+1 (нечетное ЧиСЛО ПЛЮСОв), Т2р + і, т- Тип (3,1) иМеЮПХ R2I, am, Rzm , » ^2p, 2r + i. Z12,
V12. Тип (1,3) имеют R2I, ami , , T2Pt 2q, 2r + i> Z^»
t/72+. Twn (4,1) имеют T2f~2q, %r. Tun (1,4) имеют Tip+%q> 2r-
Следствие. Для критических точек пункта 3 теоремы граф перестройки определяется типом перестройки.
Замечания. 1 (С. Ю. Оревков). Теорема позволяет описать перестройки гиперповерхностей уровня в окрестностях критических точек, являющихся прямыми суммами критических точек, перечисленных в теореме. Действительно, если прямые слагаемые зависели одно от т, а другое от k переменных, то область положительных (отрицательных) значений суммы на сфере S"1+*-1 будет соответствовать множеству (Mn^T1XDk) U (Dm х Mk^1) при гомеоморфизме (Sm_1 xDk) U (DmXSk'1) —»-S®+6-1, где М± —область положительных (отрицательных) значений прямого слагаемого на соответствующей сфере. В частности, при добавлении квадрата новой переменной (т. е. при переходе к стабильно эквивалентной критической точке) новая область отрицательных значений на сфере получается из старой умножением на интервал, а новая область положительных значений на сфере получается склеиванием двух экземпляров шара по старой области положительных значений на сфере, являющейся границей этого шара.
2. Имеется десять возможных перестроек поверхностей уровня функции трех переменных в окрестности простой или унимодальной 300 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
критической точки: восемь из них указаны на рис. 84, оставшиеся две — это (1,0)—минимум, (0,1) — максимум. Это утверждение легко следует из теоремы и предыдущего замечания.
Г. Многочлен Бер н штейн а. Пусть Q (х) = х\ + . . . -+- — квадратичная форма. Имеет место тождество
(і- X Wdxt)^ Q (*)* = A. ( А, + | - 1) Q ix)*-* _
Это тождество использовалось И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым в [41] для определения комплексной степени квадратичной формы как обобщенной функции. Это тождество послужило мотивировкой формулируемой ниже теоремы И. Н. Бернштейна.
