Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из а)—д), в частности, легко выводится, что всякое элементарное сечение неотрицательного порядка есть геометрическое сечение некоторой 2-формы. Например, если A: t*—>A(t)—ковариантно постоянное однозначное сечение когомологического расслоения Милнора, то существует 2-форма со, для которой [со/d/ |Xf] = A (t) для любого t.
Б. Симметрия чисел Ходжа. Выведем лемму 13.14 из теоремы 13.3. Согласно теореме 13.3 для любого I
gr,W,= 0 H'tm, H^m = Hf71- (6)
k + m = l
Оператор монодромии на gr, Wt сохраняет вещественную структуру и индуцированную ходжеву фильтрацию. Поэтому оператор монодромии сохраняет разложение (6). Обозначим через Hfyт корневое подпространство собственного числа X действия монодромии на Hlc' т.
По построению FkSrl Wt = Hk- ^ft"10----Поэтому
Hk,i-k^Fk gr, WfAFft+1 gr, Wt, dim Нк-1~к = Кк-1~к, dim Hfy 1~к = =hfyl~k. Теперь утверждение а) леммы 13.14 следует из (6).
Согласно следствию 2 в п. 13.2.Д для любых k, I
Nl{Hfyn-1+l~k) = Hi-l-n~1-k, если Хф\, Ы1{Нк'п+1~к) = Н\-1-
Это влечет утверждения б), в) леммы 13.14.
В. Функториальность смешанной структуры Ходжа в исчезающих когомологиях. Пусть f: (С", 0)—>-—>- (С, 0)—росток голоморфной функции, имеющий конечнократную критическую точку. Пусть g: (С", 0)^(0, 0)—росток конечно-кратного голоморфного отображения. Предположим, что росток fog: (С, 0) —>- (С, 0) тоже имеет конечнократную критическую точку. Росток g индуцирует отображение гиперповерхности уровня ростка fog в гиперповерхность того же уровня ростка f. Нетрудно убедиться, что это отображение задает линейное отображение g* когомологий, исчезающих в критической точке ростка f, в кого-ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ циклам [гл. III
мологии, исчезающие в критической точке ростка fog, точнее, задает морфизм когомологического расслоения Милнора критической точки ростка f в когомологическое расслоение Милнора критической точки ростка fog. Согласно теореме 13.3 в слоях этих когомологических расслоений весовая и ходжева фильтрации образуют смешанную структуру Ходжа.
Теорема 1 (см. [22]). g*—мономорфизм типа (0, 0) смешанных структур Ходжа. А именно, g* не имеет ядра и для любых k, I
g* (Fk (/*)) с Fk ((/ о g) *), g* (W1 (/*)) с W1 ((f о ?)*).
Доказательство. Пусть Х<, Xfg —слои расслоений Милнора ростков f, fog соответственно. Предположим, что специализации ростков и представитель g ростка g выбраны так, что g (X^e) с Х\.
Отображение g*: Hn_1(Xfts, С) —Нп_г (х\, С) эпиморфно. Действительно, если \o\€Hn_x(xl С), о—представитель класса [сг], {g"1^)}—полный прообраз цикла, о в Xfte, то g» [{g"-1 (сг)}] = k [er], где k—кратность ростка g.
Докажем функториальность весовой фильтрации. Очевидно, что отображение g* переводит ковариантно постоянные сечения в кова-вариантно постоянные сечения. Кроме того, отображение g* перестановочно с оператором монодромии. Согласно второму определению весовой фильтрации в п. 13.2.Б это означает справедливость второго включения теоремы.
Докажем функториальность ходжевой фильтрации. Пусть со — гоморфная дифференциальная ,п-форма на Xf. Очевидно, что порядок формы g" (со) равен порядку формы to. Более того, главная часть формы g* (о) равна образу главной части формы относительно мономорфизма g*. Это доказывает первое включение теоремы.
Замечание. Другим проявлением функториальности смешанной структуры Ходжа в исчезающих когомологиях являются формулы, связывающие спектры критических точек ростков f (х), g (у), f(x) + g(y); см. п. 13.3.Д, а также [22].
Г. Переформулировка теоремы о смешанной структуре Ходжа на язык комплексных осциллирующих интегралов. Пусть f: (С", 0)—>(С, 0)—росток голоморфной функции в конечнократной критической точке. Рассмотрим комплексные осциллирующие интегралы с фазой f по допустимым цепям, сосредоточенным в окрестности критической точки ростка f, т. е. интегралы вида J exfa>, где [Г] g Hn (X, Х~),
fr]
&—голоморфная дифференциальная я-форма на X (см. п, 11.1).
Для фиксированной амплитуды со интегрирование выражения eT'u> по допустимым цепям определяет линейную функцию на допустимых цепях, зависящую от параметра т. При т—H-оо такаяЯ 4]
смешанная структура ходжа
287
линейная функция разлагается в асимптотический ряд (теорема 11.1). Старшая часть этого асимптотического ряда называется старшей частью амплитуды со. Ниже с помощью старших частей всех амплитуд строится фильтрация на пространстве, сопряженном с Hn (X, Х~\ С). Эта фильтрация называется ходжевой. Далее, на том же пространстве с помощью оператора монодромии строится другая фильтрация, называемая весовой.
Теорема 2. Построенные ниже весовая и ходжева фильтрации образуют смешанную структуру Ходжа на пространстве, сопряженном с Нп(Х, Х~; С).
Далее будет легко убедиться, что теорема 2 является переформулировкой теоремы 13.3 в силу леммы 11.2.
Замечание. Построенная ниже ходжева фильтрация зависит от параметра т. Теорема 2 справедлива при любом положительном значении параметра ходжевой фильтрации.
Обозначим через Н* пространство, сопряженное с Нп_1(Х, Х~; С). В Н* имеются естественные вещественное подпространство Wr