Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
и целочисленная решетка H*z (например, H*z —это линейные'функ-ции, принимающие целые значения на естественном образе в На_1(Х, Х~\ С) группы Нп_1(Х, Х~; Z)). Определим ходжеву фильтрацию в Я*.
Пусть со — голоморфная гс-форма на X. Согласно теореме 11.1 [ 1
где Sfei а ? Я*. Назовем весом формы со наибольшее число а, для которого отличен от нуля коэффициент Во, а (ср. с определением порядка формы в п. 13.1.В). Вес обозначим через ?(<u).
Замечание. Согласно формуле (6) на стр. 222 сумма порядка формы и ее веса равна —1.
Старшей частью формы со назовем выражение
<ш> (BZ р + . .. + (In T)""1 ? «о>).
Старшая часть—это зависящий от параметра х вектор пространства Я*.
Зафиксируем положительное число т. Определим пространство F^czH* условием: F^—линейная оболочка старших частей всех форм, вес которых не меньше k—п (в старших частях параметр х фиксирован). Если старших^частей такого веса не существует, то полагаем F% = {0}. Фильтрацию {F*\, k?Z, назовем ходжевой.
Определим весовую фильтрацию в Я*. Как показано в п. 11.1, Нп(Х, Х~\ С)^Hn_1(Xt, С), где Поэтому Я* ^
S^Hn'1 (Xt, С). В H"~1(Xt, С) весовая фильтрация определена в п. 13.2. В качестве весовой фильтрации в Я* возьмем фильтрацию, индуцированную из весовой фильтрации в Я"-1 (Xf, С). 28g интегралы голоморфных форм по исчезающим циклам [гл. iii
14.3. Обзор результатов о смешанной структуре Ходжа.
А. Смешанная структура Ходжа и форма пере-Сбчений. Пусть f: (С", 0)—>(С, 0) — росток голоморфной функции в ц-кратной критической точке. Рассмотрим форму пересечений 5 в (п—1)-мерных гомологиях Hn_1(Xt, IR), исчезающих в критической точке. Обозначим через р.0 размерность ядра формы S. Если п четно, то форма S—кососимметрическая и р,0—единственный вещественный инвариант формы S. Если п нечетно, то форма S—симметрическая и вещественным линейным преобразованием форму S можно диагонализировать. Пусть и и_—числа положительных и отрицательных коэффициентов диагонализации. Числа и0, ц+, и_ образуют полный набор вещественных инвариантов формы 5.
Обозначим через hfcт числа Ходжа смешанной структуры Ходжа в когомологиях, исчезающих в критической точке ростка f.
Теорема 3 (см. [221]).
и„- S ^m- ^ ЬЧ'"\
k + m<n к+іп^-п+2
Er ли n нечетно, то
2 h\- '"+2 S h>i'">+ 2 2 hi"\
k + m = n+\ fe + m>n+2 Я ф 1 m-четно
m — четно m —четно
H-- = S h*'n + 2 S hf"+ 2 2 hi-
ft + m=fj+I ft+m>n+2 ХЪф 1 т-нечетно
m —нечетно т нечетно
Следствие 1. Форма S невырождена тогда и только тогда, когда число 1 не является собственным числом оператора монодромии.
Следствие 2 (см. [221]). Если п четно, то ц—|л0 четно. Если п з= 3 mod 4, то р.—четно. Если я = 1 mod 4, то р— четно.
Если f—росток квазиоднородной функции, то числа Ходжа hj; т можно выразить в терминах квазиоднородной структуры локальной алгебры критической точки (см. теоремы 13.4, 13.5). Сформулируем теорему 3 в этом случае.
Пусть f: (Сп, 0)—> (С, 0) — росток квазиоднородной функции типа ((X1, ...,(Xn) и веса 1. Предположим, что 0—конечно-кратная критическая точка ростка f. Пусть {хт\т?1)—набор одночленов, проектирующихся в базис над С локальной алгебры С\x\/(df/dx). Для т ? I положим / (т) = (mx -f-1) аг + . .. ...+К, + 1)а„ —1.
Теорема 4 (см. [219]).
Н-о = € /1 Hm) (Е Z}. Я 4] смешанная структура ходжа
289
Если п нечетно, то
р, = # {т е 111 (т) $ z, [/ (/71)] нечетно}, = Є 7(/(m)|Z, [/(m)] четно}.
Пример 1. Лд: f = х^ + х1 + х1, ^ = (1/(^.+ 1), 1/2, 1/2), I = ^m1, 0, 0) Im1 = O, ..., р.—1}, Цт) = (тг + 1)/(^+1). для любого т?/ имеем / (т) ? (0, 1). Форма пересечений отрицательно определена.
П р и м е р 2. f+ . . . + ^n- Форма пересечений невырождена, если числа Ct1, ..., ап попарно взаимно просты.
Пусть f—росток квазиоднородной функции. Сформулируем теорему, связывающую в этом случае форму пересечений с операцией умножения в локальной алгебре критической точки ростка.
Пусть Xt—слой расслоения Милнора критической точки ростка f квазиоднородной функции. Рассмотрим гомоморфизм Пуанкаре
я: Hn_,(Xt, C)-+H»'i(Xt, С).
Нетрудно убедиться, что образ гомоморфизма совпадает с
0 Я"-1 (Xi, С)я, где индекс X обозначает корневое подпростран-
іФі
ство собственного числа X оператора монодромии. Определим на образе гомоморфизма форму 5* формулой
S*(-, .) = 5(я-!(-), п-1(.)).
Для любого т?/ положим <ат = хт dx1 Д .. . Д dxn. Согласно теореме 13.6 геометрические сечения форм COm, т?/, составляют базис сечений когомологического расслоения Милнора. Если
1 (т) (t 2, то значения геометрического сечения формы (ат принадлежат образу гомоморфизма Пуанкаре. Форму (Om назовем примитивной, если /(m)(?Z.
Обозначим через J класс гессиана det (d2f/dX[dXj) в локальной алгебре Q = C {х}/(df/dx). Линейный функционал a: Q—»-C назовем допустимым, если a (J) 0 к а квазиоднороден (т. е. равен нулю на элементах алгебры Q, степень квазиоднородности которых отлична от степени элемента /).
Для m ? / положим R (т) = I (т) (I (т) — 1). . .(/ (т)—[(п—2)/2]), если п ^ 2, и R (т) = 1, если п=1.
