Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 137

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 160 >> Следующая


Теорема 7 (см. [26]). Коразмерность страта р = const в базе версальной деформации ростка голоморфной функции в конечно-кратной критической точке не меньше чем число тех спектральных чисел смешанной структуры Ходжа критической точки ростка, которые меньше Cx1+1 ((X1 — первое спектральное число).

Замечание. В случае критической точки полуквазиод-нородной функции коразмерность страта *р=Const в базе версальной деформации равна числу спектральных чисел, указанных в теореме 7. Оценка сверху следует из [171], оценка снизу дается 292 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl

теоремой 7, и числа, оценивающие коразмерность сверху и снизу, равны. Более того, в случае критической точки квазиоднородной функции упомянутое перед теоремой 7 рассуждение позволяет явно указать страт р = const.

Теорема 8 (см. [26]). Пусть f: (С", 0) —(С, 0)—квазиоднородный росток типа (Cx1, ..., ап) и веса 1. Пусть {хт\ m ? /} — набор одночленов, проектирующихся в базис над С локальной алгебры € \x\/(df/dx). Рассмотрим представителя F (х, X) =

+ S ^mx"1 версальной деформации ростка f. Тогда страт

me j

P = Const задается уравнениями \Хт = 0 | m ? /, (а, т) < 1}.

Для однородных ростков теорема 8 доказана в [39].

В самое последнее время достигнут прогресс в доказательстве гипотезы Арнольда.

Пусть f: (С", 0)—J-(С, 0)—росток голоморфной функции в изолированной критической точке, .?: (С"хСг, 0x0)—> (С, 0) — его деформация.

Определение. Подмножество UczR называется множеством полунепрерывности для данной деформации F, если оно обладает свойством: для любого достаточно малого IgC пусть х1,. . . ..., X5^C" — критические точки функции F(-, X), имеющие единое критическое значение, тогда количество чисел спектра исходной критической точки ростка f, попавших в U, не меньше, чем суммарное количество попавших в U чисел спектров критических точек

X1,. . ., Xs.

Гипотеза о полунепрерывности плотности спектра (см. [255]). Для любой деформации всякий интервал (а, а+1), где cxglR, является множеством полунепрерывности.

Замечание. Может быть, в формулировке гипотезы нужно заменить интервал (а, а+1) на полуинтервал (а, а+1].

Ясно, что из этой гипотезы следует гипотеза Арнольда.

Утверждения о полунепрерывности.

(I) Гипотеза о полунепрерывности плотности спектра справедлива для деформаций ростков функций одной или двух переменных (см. [257, 264]).

(II) Всякий интервал (а, а + 1) при а?(—2, —-1) и полуинтервал (—1, 0] являются множествами полунепрерывности для деформаций ростков функций любого числа переменных (см. [257, 264]).

(III) Для любого иррационального а ^IR множество и (а+2&,

ksz

а + 2&+1) является множеством полунепрерывности для деформаций ростков функций любого числа переменных (см. [254]).

(IV) Пусть f (хг, ..., хп)—квазиоднородный многочлен типа (U)1, ..., ап) и веса 1, имеющий в начале координат изолированную критическую точку. Назовем его нижней деформацией всякий Я 4] СМЕШАННАЯ СТРУКТУРА ХОДЖА

293

многочлен

F(x, Я) = /(4 + 2ЯЛ, где {<Р;\—одночлены квазиоднородного веса, меньшего 1. Тогда для H Ll OiCH tl X деформаций многочлена справедлива гипотеза о полунепрерывности плотности спектра (см. [255]).

Следствия. 1) Комплексный показатель осцилляции критической точки ростка функции одной, двух или трех переменных полунепрерывен сверху при деформациях (см. [256]).

2) Назовем критическую точку ростка функции любого числа переменных достаточно вырожденной, если ее комплексный показатель осцилляции принадлежит (—1, 0]. Тогда комплексный показатель осцилляции достаточно вырожденной критической точки полунепрерывен сверху при деформациях ростка (см. [256]).

Критерий достаточной вырожденности см. в [256] и в п. 13.1.Ж.

Пункт (IV) утверждения дает новые результаты в следующем вопросе. Пусть YaCPn — алгебраическая гиперповерхность степени d, имеющая только невырожденные (простые, двойные) особые точки.

Каково максимальное число Nn(d) невырожденных особых точек, которое может иметь гиперповерхность степени d?

Полный ответ на этот вопрос известен только при п = 1, 2: при д=1 N1(d) = [d/2], при л = 2 N2(d)=d(d —1)/2. Первый нетривиальный случай /г = 3.

Оценки сверху. Первым результатом является результат А. Бассе (1906, [250]):

N3 (d) < (d (d— I )2—5—Vd (d — 1) (3d — 14) + 25)/2,

с асимптотикой оценивающего числа, равной d3/2 при d—»-оо. В дальнейшем (см. [251—253, 258]) оценка улучшалась и обобщалась на случай п > 3, однако во всех этих работах оценивающее число имело асимптотику dn/2 при d—-оо. Оценку с новой асимптотикой дает пункт (IV) предыдущего утверждения.

Назовем числом Арнольда An (d) число целых точек (k. ., kn) строго внутри куба (0, d)n, для которых (я—2) d"/2 -f-1 < 2^ ^nd/2. Например, при п = 3 А3 (d) = 23<i3/48+ (члены меньшей степени по d).

Утверждение об оценке-сверху (см. [255]). Пусть YczCPn—алгебраическая гиперповерхность степени d, имеющая только изолированные особые точки. Тогда число ее невырожденных особых точек не больше числа An(d). Если я = 3, то число всех особых точек не больше A3 (d).
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed