Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ходжевы и весовые числа классов эквивалентности определяют на Q" (X)Idf Д Qn-1 (X) дополнительные структуры.
Определение. Спектральным вектором класса [со] ? Q nIdf Д А й""1 (X) назовем упорядоченную пару У [со] = (а [со], /[со]), где а [со], /[со]—ходжево и весовое числа класса [со]. Если [со]—класс нулевой формы, полагаем 1/[со] = (+оо, —оо).
Лексикографически упорядочим спектральные векторы. А именно, положим V > V', если а > а' или если а = а' и / < /'. Например, (1/3, 0) < (1/2, 1) < (1/2,. 0).
Очевидно, что умножение класса эквивалентности на не равное нулю число не изменяет спектрального вектора; спектральный вектор суммы классов не меньше, чем минимум спектральных векторов слагаемых.
Для любого вектора V 6 IR2 обозначим через FWv (соответственно через FW >у) множество всех классов из ?2" (X)Idf Д (X), спектральный вектор которых не меньше V (соответственно, больше V). Очевидно, что FWv з FW>v, и каждое из этих подмножеств является комплексным векторным пространством.
Фильтрацию {FWv\v6 к* назовем ходжево-весрвой фильтрацией пространства ?2" (X)Idf Д Qn-1 (X). Положим
grv[FW = FWvI FW >v. Я 4]
СМЕШАННАЯ СТРУКТУРА ХОДЖА
305
Градуированным пространством ходжево-весовой фильтрации назовем ц-мерное комплексное пространство
gr FW = © gr у FW.
VsR2
Теоремы 16 —18 устанавливают изоморфизм пространства gr FW и выделенного ц-мерного пространства сечений (пространства оригинальных коэффициентов) |х-мерного расслоения
gr F gr W (/*) = © gr* F gr, W (/•). k, і
Этот изоморфизм относит элементу из grK FW его оригинальный коэффициент.
Неформальный итог указанных выше построений: после факто-ризаций по ходжевой и весовой фильтрациям пространства когомологий, исчезающих в критической точке ростка f, и Qn (X)]df Д д Qra-1 (X) канонически изоморфны. Изоморфизм устанавливается переходом от класса эквивалентности форм к оригинальному коэффициенту класса.
Замечания. 1. Используя указанный изоморфизм, можно определить спектральные пары смешанной структуры Ходжа в исчезающих когомологиях в терминах ходжево-весовой фильтрации на Qn (X)Idf /\ Qra-1 (X). А именно, выделим пару (a, l)? IR2 ровно столоко раз, какова размерность пространства gr(ct> h FW, если a(?Z, и пространства gr(a /+1) FW, если a (=Z. Объединение всех выделенных пар совпадает с набором всех спектральных пар.
2. В каждом расслоении gr* F gr, W (f*) имеется связность Гаусса—Манина. Оператор монодромии связности не имеет жорда-новых клеток. Произвольный оригинальный коэффициент, вообще говоря, не является ковариантно постоянным сечением этой связности; однако направления, определяемые его значениями, инвариантны относительно связности.
3. На пространстве grFW с помощью оригинальных коэффициентов можно ввести смешанную структуру Ходжа.
Теперь приведем пример утверждения, доказательство которого основано на указанном выше изоморфизме.
Теорема 19 (см. [21]). Пусть N: Hn'1 (X, С)—<-#л-1(Х, €) — логарифм •унипотентной части оператора монодромии. Пусть {ff: € \x\/(df/dx) —>¦ С \x\/(df/dx)—оператор умножения на f. Тогда для любого / ^ 0
dim (ker ({f}')) < dim (ker (Ni)),
где dim (ker ( )) — размерность ядра оператора.
Следствие [211]. Если оператор {fJ- не имеет жордановых клеток размера /, то таких клеток нет и у оператора монодромии.
Например, в квазиоднородном случае {f}—нулевой оператор, поэтому оператор монодромии диагонализируется.
11 В. И. Арнольд и др. 306 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Набросок доказательства. Жорданова структура оператора {f совпадает с жордановой структурой оператора умножения на f в Qn (X)/df Д Q"2-1 (А"). Доказывается, что оператор умножения на f переводит FWio,, h в FW(a+lt (_2) для любых (а, /) (см. доказательство леммы 13.12). Поэтому {ff индуцирует оператор gr{ff: gr FW—+gvFW, переводящий gr la,hFW в gr(a+1, ,_2) FW для любых (а, I). Очевидно, что жордановы структуры оператора {ff и оператора gr -{ff связаны соотношением
для любого j ^ 0.
Далее с использованием теоремы 13.3 о смешанной структуре Ходжа доказывается, что при изоморфизме пространства grfW с пространством оригинальных коэффициентов оператор gr {f} переходит в оператор N, умноженный на каждом слагаемом пространства gr FW на соответствующее отличное от нуля число. Теорема доказана.
Замечание. В [22] доказано следующее утверждение. Назовем длиной спектра критической точки ростка f разность между наибольшим и наименьшим спектральными числами. Если j больше длины спектра, то -{fJ--' = 0, другими словами, V\x\l(df/dx). Поскольку спектр принадлежит интервалу (—1, п — 1), всегда fn?(dfldx) (см. [131, 180]).
§ 15. Отображение периодов и форма пересечений
Пусть заданы гладкое расслоение и дифференциальная форма на пространстве расслоения, замкнутая на слоях. В такой ситуации возникает отображение периодов формы — многозначное отображение базы расслоения в когомологии слоя. Точке базы сопоставляется класс когомологий формы в слое над точкой, перенесенный в когомологии отмеченного слоя. Многозначность возникает в силу неоднозначности выбора пути перенесения.
