Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть f: (С", 0)—>(С, 0)—росток голоморфной функции. Пусть X—независимая переменная. Рассмотрим множество конечных
сумм вида 2 afc, і (*) № (x)x~k, где afe ,:(С", 0) —^C—ростки ft, i> о
голоморфных функций, Iх'к—формальные символы. Снабдим это множество очевидным соотношением f (x)-f (х)К~к~г = f (х)х~к. Рассмотрим дифференциальные операторы P (х, X, д/дх) с коэффициентами, голоморфными по X и полиномиальными по X:
P (х, X, д/дх) = 2 К « (X) Xk (д/дх)а.
к, а> 0
Эти операторы будут действовать на предыдущем множестве, если положить д/дх^~к = (X—k) di/dx^-1.
Теорема 11. Существуют многочлен В (X) и дифференциальный оператор P (х, X, д/дх), для которых
P (х, X, д/дх) ЇК = В (X) f*"1. (7)
Эта теорема была доказана И. Н. Бернштейном [12] для случая, в котором f—многочлен, и распространена Бьерком [130] на общий случай.
Легко видеть, что множество многочленов В (Я) для которых существует тождество (7), образует идеал в С [Я]. Унитарная образующая b этого идеала называется многочленом Бернштейна ростка f. Очевидно, что & (0) = 0 (для этого достаточно положить X = 0 в тождестве (7)). Запишем b (X) = Xb (X). Многочлен B(X) называется приведенным многочленом Бернштейна.
Одним из мотивов доказательства теоремы 11 послужило следующее ее приложение.
Предположим, что росток f на вещественном подпространстве IR" с С" принимает только вещественные значения. Зафиксируем представителя f ростка и определим две функции f± на окрестности начала координат в R":
J /(*) при f (X)^o, і 0 при / (х) ^ 0,
Г+ {Х) \ 0 при / (X) < 0, {Х) \ - / (X) при f (X) < 0. Я 4] СМЕШАННАЯ СТРУКТУРА ХОДЖА
301
Пусть ф: R"—>- R—гладкая функция с носителем, сосредоточенным в достаточно малой окрестности начала координат. Положим
Г±(К Ф)= l(f±(x))k<p(x)dx,
rti
где XgC—комплексный параметр, ReX> 0. Интегралы 1± можно рассматривать как обобщенные функции, зависящие от параметра X, на пространстве основных функций {ф}-. Интегралы I± корректно определены при ReX>0 и голоморфно зависят от X.
Теорема 12. Интегралы /± аналитически продолжаются на С как мероморфные функции параметра X, их полюса лежат на арифметических прогрессиях
где X1, X2, ... —корни многочлена Бернштейна ростка f.
Доказательство.
b(X) J ^1Vdx= J [Pfilvdx= $ fi[P4p]x;
R П R Il RTI
здесь b—многочлен Бернштейна, P—дифференциальный оператор, удовлетворяющий вместе C Ь тождеству (7), = —OlalX X Xh (д/дх)0- bk, а. (х)—сопряженный оператор. Эти равенства позволяют аналитически продолжить интегралы /± с полуплоскости ReX>0 на полуплоскость ReX>—1 и т. д.
В [72, 184] Б. Мальгранж связал корни, многочлена Бернштейна с собственными числами оператора монодромии в когомологиях, исчезающих в критической точке ростка f.
Предположим, что росток f: (С", 0) —>- (С, 0) имеет критическую точку конечной кратности р,. Каждому собственному числу X оператора монодромии поставим в соответствие арифметическую прогрессию L (X) всех чисел а, для которых ехр (2ш'а) = X.
Теорема 13 (см. [184]). Корни многочлена Бернштейна ростка f принадлежат объединению всех построенных арифметических прогрессий. Каждый из корней меньше чем 1.
Следствие. Корни — рациональные числа.
Рациональность корней многочлена Бернштейна ростка с не обязательно конечнократной критической точкой доказана Каши-вара в [165].
В [230] в слоях когомологического расслоения Милнора конечнократной критической точки определена фильтрация, и в терминах действия оператора монодромии на пространствах этой фильтрации выражены корни многочлена Бернштейна. Очевидные взаимоотношения этой фильтрации и ходжевой фильтрации указывают новые неравенства, связывающие корни многочлена Бернштейна.
Определим упомянутую фильтрацию, которую будем называть третьей (после весовой и ходжевой фильтраций). Третью фильт- 302 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
рацию в когомологиях Hn(X (t)) слоя расслоения Милнора обозначим через \Gt\-
Для произвольной голоморфной дифференциальной л-формы со на X разложим в ряд по ковариантно постоянным сечениям ее геометрическое сечение:
s[co] = S (In ty>A» Jpl;
P, а
см. п. 13.1. Подпространство Gt положим равным линейной оболочке всех значений в точке t сечений Afii а с a ^ га—1—k, р = 0, 1, ...,га — 1, всех форм со.
Из определения легко следует, что третья фильтрация убывающая: ... cz Gt+1 CZ Gf cz ..., члены третьей фильтрации инварианты относительно оператора монодромии, для любого k подпространство Gl содержит подпространство Ff ходжевой фильтрации.
Теорема 14 (см. [230]). Для любого k обозначим через Qk— минимальный многочлен действия оператора монодромии на Gf /Gf+1. Каждому корню X многочлена Qk поставим в соответствие число Ik (X) +1—п, где Ik(X) определяется условиями ехр (2яilk (Я)) = X, k ^ Ik (X) < & +1. Рассмотрим объединение всех построенных чисел для всех k—обозначим их через alt а2, . .. Тогда [(s—(X1) (s—а2) ... ] ? С [s]—приведенный многочлен Берн-штейна.
Следствие. Если f—росток квазиоднородного многочлена, то корни приведенного многочлена Бернштейна ростка получаются из спектра критической точки роста умножением на —1. (Доказательство: в этом случае третья фильтрация совпадает с ходжевой.)
