Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
— весовой фильтрации, определенной над Q по отношению к решетке Hz,
{0} с ... с= Fk+l cz Fkcz Fk-1 cz ... cz H
— ходжевой фильтрации. Требуется, чтобы при любом I фильтрация на
UrlW = WlZWl.,,
индуцированная ходжевой фильтрацией, составляла на grz W чистую структуру Ходжа веса I (индуцированная фильтрация—это фильтрация
Fk gr, W = (Fk Л W1 + W1^ZW1.,). Другими словами, требуется, чтобы при любых k, I g Z grt W = Fk grl W Є F1-k^ grz W. Ср. с утверждением теоремы 13.3. Я 4] смешанная структура ходжа
283
Понятие смешанной структуры Ходжа содержит понятие структуры Ходжа в качестве частного случая: если (H, {/7*})—структура Ходжа веса Z, возьмем в качестве весовой фильтрации {0} = = Wl^czWl = H, тогда (Н, \Fk), {Wm})—смешанная структура Ходжа.
Определение. Морфизмом типа (г, г) смешанных структур Ходжа (Н, {F*}, {WJ), (H', {F'*\, {W't\) называется линейное отображение ф: H—^H', определенное над Q по отношению к решеткам Hz, Н'Г? и обладающее свойствами:
Ф (W1) с W1uar, Ф (^ft) с F'*+'
для любых I, к.
Морфизм типа (г, г) индуцирует отображение
Ф: gr.r — gwUr,
являющееся морфизмом типа (г, г) чистых структур Ходжа весов I, Z+ 2/- соответственно.
На смешанные структуры Ходжа естественным образом распространяются операции прямой суммы, тензорного произведения, сопряжения.
Пример. Если (Н, {F*}, {W1})—смешанная структура Ходжа, определим смешанную структуру Ходжа на сопряженном пространстве Н*. Положим #^ = Hom(#z, Z), (Р*)к = ахтРг~к, Wl = arm W_1_1, где апп—аннулятор.
14.2. Обсуждение утверждения теоремы 13.3 о смешанной структуре Ходжа.
А. Примеры.
Критическая точка ростка f: (С, 0)—-»-(С, Ч)) голоморфной функции одной переменной. После подходящей замены переменной имеем f = Xfj- + 1, где и—кратность критической точки. Пусть f: X—^ S—специализация ростка, /*: H0—гS'—соответствующее когомологическое расслоение Милнора (стр. 250). Согласно примерам на стр. 262, 265 для любого Z6S'
{0} = W_ut CzW0tt = H0 (Xt, С), {0} = FiczF°t = Ha (Xu С).
gr0 Wt = Ha (Xt, С)—единственное нетривиальное факторпростран-ство весовой фильтрации. На H0 (Xt, С) ходжева фильтрация индуцирует чистую структуру Ходжа веса 0: H0(XtlC) = Hl0, где H0t-0 = F0t (см. формулу (1)). Теорема 13.3 для f доказана.
Невырожденная критическая точка ростка f = *!+...Согласно примерам на стр. 262, 265 для 284 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
любого t?Sr
{0} = Г2 ws].lt/c Wtwtbt = H--HXt, С), = + х с: F\n™ = H"-* (Xu С).
= H"-1 (Xt, С)—единственное нетривиальное фактор-пространство весовой фильтрации. На Hn"1 (Xu С) ходжева фильтрация индуцирует чистую структуру Ходжа веса 2 [и/2]:
H"-i(XuC) = H\nm-ln/2\ где tn/2] = Fjn^nFpil (см. фор-
мулу (2)). Теорема 13.3 для f доказана.
Конечнократная критическая точка ростка f: (С2, 0) —¦> (С, 0) голоморфной функции двух переменных. Это—первый нетривиальный случай. Переформулируем для этого случая утверждения теоремы о смешанной структуре Ходжа. Пусть /: X—>-S—специализация ростка f, f gS'. Согласно лемме 13.7 ходжева фильтрация имеет вид
{0} с Fj с F0t с ... с H1 (Xu С).
Согласно следствию 2 в п. 13.2 размеры -жордановых клеток оператора монодромии не больше 2, корневое подпространство собственного числа 1 оператора монодромии состоит из собственных векторов. Поэтому весовая фильтрация имеет вид
{0} с= W0^t с= WutC=W^t = H1 (Xu С),
где W1, t порождено всеми собственными векторами оператора монодромии с собственными числами, не равными 1, Wgt порождено собственными векторами жордановых клеток размера 2.
Теорема о смешанной структуре Ходжа утверждает, что ходжева фильтрация индуцирует на факторпространствах весовой фильтрации чистые структуры Ходжа, т. е. в данном случае
PtWt = H1S1, (3)
gr ,Wt = H1t-0^H0t-1, grort = H1t- -1^Hb «ЄЯг1-1, (4)
где Hk- т = Fk gck+mW D Fmgrk+m W. Согласно следствию 3 в п. 13.2.Д H1t--1, Ht1-1 пусты и
gr0 Wt = H0t- (5)
Следствие. F0t = H1 (Xu С). Другими словами, произвольный класс исчезающих когомологий, принадлежащий одному из корневых пространств оператора монодромии, является значением главной части голоморфной 2-формы на X, порядок которой меньше чем 1.
Замечание. Для ростка функции п переменных Ft = = Нп~г (Xi, С). Доказательство аналогично.
Утверждения (3) — (5) можно переформулировать на языке главных частей голоморфных 2-форм на X. Я 4] смешанная структура ходжа
285
а) Каждый собственный вектор из W0, t есть значение главной части некоторой формы порядка, принадлежащего интервалу (0, 1).
б) Если порядок формы не больше 0, то значение в t главной части формы не принадлежит W0i t.
в) Каждый собственный вектор с собственным числом 1 есть значение главной части некоторой формы порядка 0.
г) Каждый собственный вектор из W0, t есть значение коэффициента Afi аШ), где со—некоторая голоморфная 2-форма на X, порядок которой а (со) принадлежит интервалу (—-1, 0).
д) Обозначим через JF, проекцию в grx Wt подпространства в Wli порожденного значениями в t главных частей форм порядка, меньшего чем 0. Тогда gr^W, = JF,0fl.
