Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если со—голоморфная дифференциальная n-форма на Xf, Ф—голоморфная дифференциальная /-форма на X^, то со Д ф—голоморфная дифференциальная (п + /)-форма в окрестности точки 0х0бС"х€г. Лемма 15 позволяет выразить геометрическое сечение формы со Д ф через геометрические сечения форм СО, ф. 278 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
Лемма 16 (см. [22]). Если
s [о] = 2 'a(ln t)k At JM.
то
s[co Д = (»+ 1. ?+1)] At v.® aZ p/(A! si),
где В—бэта-функция.
Замечание. Сечения Afi а @ Aft ? рассматриваются как сечения расслоения (/ + g% в силу изоморфизма (14).
Лемма 16 следует из леммы 11.2 и теоремы Фубини.
Следствие. Порядок формы со А ф равен увеличенной на 1 сумме порядков форм со, ср.
Теперь для доказательства теоремы 7 достаточно воспользоваться леммой 13. А именно, пусть Co1, ..., COix—голоморфные n-формы на Xf, которые вместе с / удовлетворяют условиям леммы 13. Пусть фх, ..., фг,—голоморфные /-формы на Х&, которые вместе с g удовлетворяют условиям леммы 13. Нетрудно убедиться, что формы {со,- А Фу} вместе с f + g тоже удовлетворяют условиям леммы 13. Следовательно, порядки этих форм (числа ос (со,-)-[-а (фу) +1) составляют спектр критической точки ростка f+g.
Аккуратное проведение этих рассуждений позволяет доказать следующее усиление теоремы 7: если {(a;-, vt)\—спектральные пары ростка f, {(?y-, Uj)\—спектральные пары ростка g, то {(a,- + ?y+ 1, u,- + «y-f-l)}—спектральные пары ростка f + g.
В [22] указаны явные формулы, связывающие с помощью операций тензорных произведений и сумм весовые и ходжевы фильтрации когомологических расслоений Милнора критических точек ростков f, g, f + g.
§ 14. Смешанная структура Ходжа изолированной критической
точки голоморфной функции
Смешанная структура Ходжа в векторном пространстве — это две фильтрации пространства, удовлетворяющие указанным ниже аксиомам. В пространстве когомологий, исчезающих в критической точке голоморфной функции, имеется естественная смешанная структура Ходжа. Роль упомянутых фильтраций играют весовая и ходжева фильтрации, введенные в § 13. Весовая фильтрация строится по жордановой структуре оператора монодромии и отражает поведение интегралов по исчезающим циклам при аналитическом продолжении интегралов вокруг критического значения параметра. Ходжева фильтрация строится, исходя из сравнений скоростей стремления к нулю интегралов по исчезающим циклам при стремлении параметра интегралов к критическому значению. Как известно, в геометрии есть две теории, изучающие функцию в окрестности Я 4] смешанная структура ходжа
279
критической точки: теория Морса и теория Пикара — Лефшеца. Теория Морса исследует перестройку гиперповерхности уровня функции при стремлении уровня к критическому значению. Теория Пикара — Лефшеца исследует преобразование гиперповерхности уровня функции при обходе уровня на комплексной прямой вокруг критического значения. В этом смысле теория смешанных структур Ходжа критических точек является синтезом теории Морса и теории Пикара — Лефшеца. Смешанная структура Ходжа в исчезающих когомологиях играет заметную роль в локальной теории особенностей .
В этом параграфе обсуждается взаимодействие смешанной структуры Ходжа с другими характеристиками критической точки.
14.1. Определение смешанной структуры Ходжа. Смешанная структура Ходжа — это дополнительная структура, имеющаяся в когомологиях комплексного многообразия и индуцированная комплексной структурой многообразия.
Пример. Рассмотрим комплексную неособую проективную кривую X cz СP2 рода 1, в аффинной карте заданную уравнением у2 = P3 (X), где P3—многочлен третьей степени без кратных корней.
Рассмотрим ее когомологии с комплексными коэффициентами. Размерности пространств H0 (X, С), H1 (X, С), H2 (X, С) равны соответственно 1, 2, 1. В каждом из этих пространств задано вещественное подпространство—образ естественного вложения когомологий с вещественными коэффициентами. Более того, в вещественном подпространстве выделена целочисленная решетка — образ естественного вложения когомологий с целыми коэффициентами. Вещественное подпространство с решеткой есть всегда в когомологиях с комплексными коэффициентами. Следующий объект—проявление комплексной структуры на X. Рассмотрим на X дифференциальную 1 -форму to = dxlу. Легко убедиться, что всюду на X ©—регулярная голоморфная 1-форма. Форма со замкнута и, следовательно, определяет класс когомологий [со] ? H1 (X, С). Всякая иная голоморфная 1-форма со' пропорциональна со (действительно, со'/со—ограниченная голоморфная функция и, следовательно, постоянная). Комплексная структура задает ориентацию
кривой. Для этой ориентации і J со Д со > 0. В частности, это
означает, что класс [св] отличен от нуля. Таким образом, голоморфные дифференциальные 1-формы на X порождают в H1 (X, С) одномерное подпространство F, это подпространство обладает свойством Я1 (X, С) = F(J)F, где черта означает сопряжение относительно вещественного подпространства.
Стандартная теорема теории эллиптических кривых утверждает (см. [73, 115]): векторное пространство H1 вместе с указанными структурами (вещественным подпространством с целочисленной решеткой и подпространством F) определяют кривую X, 278 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
