Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 16 (см. [22]). Если
s [®] = 2 (]n Oft AlJkl, s[<p] = 2*p(ln0* Aft?/sl,
то
Ф А Ф] = E E Sd^ Ua+P+1B (а + 1, ? +1)] Afi а ® AZ p/(AI s!),
где В—бэта-функция.
Замечание. Сечения Af, « ® Afi $ рассматриваются как сечения расслоения (/ + ?¦)« в силу изоморфизма (14).
Лемма 16 следует из леммы 11.2 и теоремы Фубини.
Следствие. Порядок формы со Д ср равен увеличенной на 1 сумме порядков форм со, ср.
Теперь для доказательства теоремы 7 достаточно воспользоваться леммой 13. А именно, пусть (O1, ..., Coix—голоморфные п-формы на Xf, которые вместе с / удовлетворяют условиям леммы 13. Пусть tplf ..., фч—голоморфные /-формы на Xs, которые вместе с g удовлетворяют условиям леммы 13. Нетрудно убедиться, что формы {сог Д фу} вместе с f + g тоже удовлетворяют условиям леммы 13. Следовательно, порядки этих форм (числа ос (cof)+a (фу) + 1) составляют спектр критической точки ростка f+g.
Аккуратное проведение этих рассуждений позволяет доказать следующее усиление теоремы 7: если {(<%,-, f,)}—спектральные пары ростка f, {(?y-, Uj)}—спектральные пары ростка g, то {(<z,- + ?.+ I, Vi + Uj -f 1)} — спектральные пары ростка f + g.
В [22] указаны явные формулы, связывающие с помощью операций тензорных произведений и сумм весовые и ходжевы фильтрации когомологических расслоений Милнора критических точек ростков f, g, f + g.
§ 14. Смешанная структура Ходжа изолированной критической
точки голоморфной функции
Смешанная структура Ходжа в векторном пространстве — это две фильтрации пространства, удовлетворяющие указанным ниже аксиомам. В пространстве когомологий, исчезающих в критической точке голоморфной функции, имеется естественная смешанная структура Ходжа. Роль упомянутых фильтраций играют весовая и ходжева фильтрации, введенные в § 13. Весовая фильтрация строится по жордановой структуре оператора монодромии и отражает поведение интегралов по исчезающим циклам при аналитическом продолжении интегралов вокруг критического значения параметра. Ходжева фильтрация строится, исходя из сравнений скоростей стремления к нулю интегралов по исчезающим циклам при стремлении параметра интегралов к критическому значению. Как известно, в геометрии есть две теории, изучающие функцию в окрестности Я 4] смешанная структура ходжа
279
критической точки: теория Морса и теория Пикара — Лефшеца. Теория Морса исследует перестройку гиперповерхности уровня функции при стремлении уровня к критическому значению. Теория Пикара — Лефшеца исследует преобразование гиперповерхности уровня функции при обходе уровня на комплексной прямой вокруг критического значения. В этом смысле теория смешанных структур Ходжа критических точек является синтезом теории Морса и теории Пикара — Лефшеца. Смешанная структура Ходжа в исчезающих когомологиях играет заметную роль в локальной теории особенностей.
В этом параграфе обсуждается взаимодействие смешанной структуры Ходжа с другими характеристиками критической точки.
14.1. Определение смешанной структуры Ходжа. Смешанная структура Ходжа — это дополнительная структура, имеющаяся в когомологиях комплексного многообразия и индуцированная комплексной структурой многообразия.
Пример. Рассмотрим комплексную неособую проективную кривую XcCP2 рода 1, в аффинной карте заданную уравнением у2 = P3 (X), где P3—многочлен третьей степени без кратных корней.
Рассмотрим ее когомологии с комплексными коэффициентами. Размерности пространств Ha (X, С), H1 (X, С), H2 (X, С) равны соответственно 1,2, 1. В каждом из этих пространств задано вещественное подпространство—образ естественного вложения когомологий с вещественными коэффициентами. Более того, в вещественном подпространстве выделена целочисленная решетка — образ естественного вложения когомологий с целыми коэффициентами. Вещественное подпространство с решеткой есть всегда в когомологиях с комплексными коэффициентами. Следующий объект—проявление комплексной структуры яаХ. Рассмотрим на X дифференциальную 1 -форму со = dx/y. Легко убедиться, что всюду на X со—регулярная голоморфная 1-форма. Форма со замкнута и, следовательно, определяет класс когомологий [со] ? H1 (X, С). Всякая иная голоморфная 1-форма со' пропорциональна со (действительно, со'/со—ограниченная голоморфная функция и, следовательно, постоянная). Комплексная структура задает ориентацию
кривой. Для этой ориентации і ^ со Д со > 0. В частности, это
X
означает, что класс [со] отличен от нуля. Таким образом, голоморфные дифференциальные 1-формы на X порождают в H1IX, С) одномерное подпространство F, это подпространство обладает свойством H1 (X, С) = FQ)F, где черта означает сопряжение относительно вещественного подпространства.
Стандартная теорема теории эллиптических кривых утверждает (см. [73, 115]): векторное пространство H1 вместе с указанными структурами (вещественным подпространством с целочисленной ре-щеткой и подпространством F) определяют кривую X, 280 интегралы голоморфных ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
Предположим, что имеются две кривые X, X' рода 1 и голоморфное отображение /: XX'. Рассмотрим индуцированное отображение /*: Н1(Х', С)H1 (X, С). Очевидно, что при этом отображении вещественное подпространство и целочисленная решетка переходят соответственно в вещественное подпространство и целочисленную решетку. Более того, поскольку прообраз голоморфной формы голоморфен, f*Fc:F. Это замечание показывает функтори-альность описанной выше структуры в когомологиях и несет нетривиальную информацию о голоморфных отображениях. Например, если нет ненулевого линейного отображения (Я1 (X', С), F) -+(Ht (X, С), F), сохраняющего вещественное подпространство и целочисленную решетку, то всякое голоморфное отображение Х-*-Х' есть отображение в точку.
