Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Конструкция подпространства F в одномерных когомологиях кривой рода 1 обобщается на комплексное неособое проективное многообразие X произвольной размерности [93, 112]. Для любого неотрицательного целого I в пространстве когомологий H1 (X, С), помимо вещественного подпространства с целочисленной решеткой, выделим подпространства H1'0, Н1~х<х, ..., H0 •1, где Нк> 1~к— подпространство всех /-мерных классов когомологий, представимых замкнутыми дифференциальными формами, которые в каждой локальной записи
S atl.....Ir, /,.....1г foil А • • • A dzlr A dzh Д ... Д dzi[_r
в каждом слагаемом имеют ровно k голоморфных дифференциалов и ровно I—k антиголоморфных дифференциалов, т. е. в каждом слагаемом г = k. Теорема Ходжа (см. [93, 112]) утверждает, что
= = (1)
к
Как и в случае кривых, подпространства Hk• l~k несут значительную информацию о разнообразных характеристиках многообразия (см. [93, 112, 156, 145, 101]). Очевидно, что подпространства jjk, i—к сохраняются голоморфными отображениями многообразий: если f: X—>¦ X'—голоморфное отображение, то для любого k f*(jjk-l~k) с: #*•'-*.
При исследовании зависимости разложения (1) от комплексной структуры на X, а также при обобщении конструкции на многообразия с особенностями выяснилось, что правильным объектом является не последовательность подпространств Ht' ..,, H0'1, а последовательность подпространств
{0} C=F1 с: F1~х с ... с: F0 == H1 (X, С),
где Р =
П. Делинь [145] выделил в когомологиях квазипроективного алгебраического многообразия (с любыми особенностями) две естественных фильтрации: ходжеву {/7*} и весовую {Wt\, и дока- Я 4] смешанная структура ходжа
281
зал, что эти фильтрации обладают свойством, обобщающим свойство (1), и функториальны относительно алгебраических отображений многообразий. Эти фильтрации названы Делинем смешанной структурой Ходжа в когомологиях. Свойства этих фильтраций взяты за основу приведенных ниже формальных определений.
Замечание. В приведенных выше примерах многообразия были неособыми и компактными. Для неособого компактного многообразия весовая фильтрация тривиальна: {0} = W1^1 с: W1 = = H1 (X, С).
В исчезающих когомологиях смешанная структура Ходжа определена Дж. Стинбринком в [221].
А. Структуры Ходжа (см. [158]). Пусть Hr—конечномерное векторное пространство над IR, содержащее решетку Hz, и пусть H = Hr(X)rC—его комплексификация.
Определение. Структура Ходжа веса I na H состоит из разложения в прямую сумму H= ф Нк< т, причем =
кл-т—1
(черта означает сопряжение). Числа hk' т = dime Hkt т называются числами Ходжа.
Для любых двух структур Ходжа Н, H' веса I прямая сумма Я®Я' несет очевидную структуру Ходжа веса I. Аналогично, если H и H' имеют (возможно разные) веса I и V, то Я®Я', Нот (Я, Я'), KpH, Н* наследуют структуры Ходжа соответственно весов / + V—I, pi, —I. А именно, ^gHom (Я, Я') имеет тип (k, т), если для всех г, s X (Яг-s) а (Н')к+Г> m+s. В частности, это определение применяется к Я* = Hom (Я, С), где С несет тривиальную структуру веса 0; Я@Я' можно рассматривать как Нот (Я*, H'), и H индуцирует структуру Ходжа на своем подпространстве ApH.
Определение. Линейное отображение ф: Я —>H' векторных пространств со структурами Ходжа называется морфизмом типа (г, г), если оно определено над Q по отношению к решеткам Hz, Я gr и если ф (Нк'т) с:(Н')к+г'п+г для всех k, от.
Замечание. Отображение ф определено над Q по отношению к решеткам Н,?, Hjs, если рациональны элементы его матрицы в базисах, состоящих из векторов решеток.
С каждой структурой Ходжа H= ф ЯА-т веса I связана
k+m=l
фильтрация Ходжа
{0} с: ... с: ciFkc: Fk~1 с- ... a H,
где Fk= ф Я'-'-'" (см. рис. 83). Фильтрация Ходжа определяет
і > к
структуру Ходжа:
Hk, ip = Ph Q рт
(2) 282 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. циклам [ГЛ. IIl
Обратно, убывающая фильтрация {Fk\ на Я возникает из некоторой структуры Ходжа веса I тогда и только тогда, когда Fh= Я для всех k.
В терминах нового описания линейное отображение qp: Я—>Н', определенное над Q, является морфизмом типа (г, г), если и только
: t-ijt+1 если оно сохраняет ходжеву
F г_ фильтрацию со сдвигом индек-
' Г~ сов на г: ф (Fk) с F'k+r для
) BC?X fe,
ft'1 ,/77-1) ihm) (ft-1,/77 + 1) (?-2,/77+2) „
Рассмотрим структуру Ходжа Рис. 83. H = ф Hk^т и билинейную
k+m=I
форму S на Я. Предположим, что значения формы на парах векторов решетки Hz рациональны. Предположим также, что форма симметрична, если I четно, и кососимметрична, если I нечетно.
Определение. Структура Ходжа поляризована формой S, если
S (Hk' «, Hk'- т') = 0 при (k, т) ф (т, k), (V"^—i)k~mS (V, o) > О для Vg Hk' т, v^O.
Примером поляризации структуры Ходжа служит билинейная форма Ходжа на примитивных когомологиях гладкого проективного многообразия (см. [93, гл. V]).
Б. Смешанные структуры Ходжа (см. [158]). Пусть Я, HR, Hz — те же, что и в п. А.
Определение. Смешанная структура Ходжа на Я состоит из двух фильтраций:
{0} с ... с W1^ CzWlO. Wl+1 cz ... er Я
