Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
269
,называется отображением периодов. Отображения периодов обладают очень специальными свойствами, связанными с отрицательной искривленностью классифицирующего пространства структур Ходжа. Если пространство параметров семейства многообразий есть проколотый диск, то, изучая асимптотику отображения периодов лри стремлении параметра семейства к отмеченной точке диска, можно получить информацию о том, как вырождаются при этом неособые многообразия семейства (см. [158, 213]). К локальной ситуации, указанной в теореме 3, эта теория применяется следующим образом. В качестве представителя ростка f берется многочлен Р, для которого точка 0 — единственная критическая точка с нулевым критическим значением. Рассматриваются компактификации Yt в CPn гиперповерхностей уровня многочлена (Z — значение уровня). Можно выбрать многочлен так, чтобы при малых ІФ0 гиперповерхности Yt были неособы, а гиперповерхность Y0 имела единственную ¦особую точку в 0. Слой Xt расслоения Милнора критической точки 0 многочлена P является частью гиперповерхности Yt. Можно выбрать многочлен так, чтобы вложение Xt с* Yt индуцировало эпиморфизм Я"-1 (Yt) ->- Я*-1 (Xt) (для этого надо, чтобы степень многочлена была достаточно велика; см. [211]). Имеется естественное (определенное с точностью до гомото-пии) отображение р: Yi-*- Y0, при котором слой Xt расслоения Милнора отображается в особую точку, см. рис. 80. Согласно точной последовательности |пары XtCzYt имеется изоморфизм
яі Я™-1 (Yt)Zp-H"-1 (Y0) Я"-1 (Xt).
Из теории деформаций структур Ходжа следует, что на Я"-1 (Yt)Zp* H"-1 (Y0) имеются две естественные фильтрации, называемые весовой и ходжевой, которые обладают свойствами, указанными в формуле (9) (см. [213, 138, 211]). Доказывается, что изоморфизм я переводит эти фильтрации в наши весовую и ходжеву фильтрации (точнее, ходжева фильтрация переходит в ходжеву фильтрацию Стинбринка, см. ?20]). Это доказывает теорему 3.
Замечание. Объясним, почему в определении весовой фильтрации в п. 13.2 центральный индекс зависит от собственного числа оператора монодромии.
На пространстве Hn^1(Yt) действует оператор монодромии, индуцированный обходом параметра Z вокруг точки Z=O. По очевидным причинам p*Hn~l(Ya) принадлежит подпространству собственных векторов с собственным числом 1. Можно доказать, что р*Нп~1 (F0) совпадает с этим подпространством. Доказательство выводится из теоремы об инвариантных циклах (см. [138, 220]). Нетрудно также вывести это утверждение непосредственно из основной теоремы Шмида в [213] с помощью теоремы 12.1 о детерминанте (ср. с доказательством леммы 2 в [20]). 270 интегралы голоморфных форм. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [гл. IIl
Упоминавшаяся ранее весовая фильтрация на * Hn(Ft)/ IptHn'1 (Y0) индуцируется подходящей фильтрацией на Ha'1 (Yt) (см. [211]). Эта фильтрация на Hn'1 (Yt) есть весовая фильтрация логарифма унипотентной части оператора монодромии с центральным индексом п—1 (она определяется на всех корневых подпространствах одинаково). Поскольку ядро эпиморфизма Hn'1 (Ft) —»-—^Hn'1 (Xt) есть подпространство инвариантных векторов, проекция в Hn'1 (Yt) указанной весовой фильтрации на //"^1(Ft) совпадает с весовой фильтрацией из п. 13.2.
Д. Первые следствия. Для любых k, /gZ, t^S' ход-жево подпространство FkgTt Wt разлагается в прямую сумму своих пересечений с корневыми подпространствами действия оператора монодромии на grtWt: FbgrlWt= (±)FkgrWt %, где Я—собствен-
X
ные числа оператора монодромии. Оператор монодромии сохраняет целочисленную структуру пространства gr, Wt, поэтому сопряжение переставляет корневые пространства, отвечающие числам X, X. Таким образом, из (9) получаем следствие 1.
Следствие 1. Для любого собственного числа X
. gr, wt, X = Fk gr, Wt, X © F^1 gr, Wti Т' (10)
Следствие 2 (см. [221]). Размер произвольной жордановой клетки оператора монодромии в когомологиях не больше п. Кроме того, размер не больше п — 1, если собственное число клетки равно 1.
Пример. Если п=\, то все собственные числа оператора монодромии не равны 1, в пространстве исчезающих когомологий существует базис из собственных векторов оператора монодромии (см. пример на стр. 265).
Доказательство следствия 2. Согласно лемме 7 при пространство Fkgr, Wt нульмерно. Согласно формуле (10) нульмерно пространство gr, Wt, х при I ^ 2п—1, что и требовалось доказать (см. п. В).
Следствие 3. Для любых k, 1^.2,, t ^S' оператор N индуцирует изоморфизмы
N*: F*gr„_1 + , Wu к ^ Fk~tgTn_i_l Wu я, (11)
если X Ф 1,
Nt: F" grn+lWu,x=i s^Fk-lgrn.tWu^i, (12)
если Я = 1.
Доказательство следствия 3. Согласно лемме 12 образы левых частей включены в правые. Согласно п. 4 леммы 9 и формуле (10) образы левых частей не могут быть меньше правых.
13.3. Спектр критической точки.
А. Спектральные пары критической точки. Определим неупорядоченный набор из р пар чисел, который характеризует взаимное расположение весовой и ходжевой фильтраций. §13] КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ИНТЕГРАЛОВ 271
Для любых k, ІЄ Z рассмотрим фактор-расслоение gr* F gr, IT (/») = F" gr^W (f*)/Ffc+1 gr, (/*).
