Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно лемме 7 на этом расслоении индуцируется действие полупростой части оператора монодромии. Зафиксируем слой |этого расслоения и каждому собственному числу X действия в слое полупростой части поставим в соответствие пару
(п—I-Ik(X), I), если Хф 1,
(п—1—1ц(Х), I—1), если Я = 1; 1 0/
здесь число Ik (X) определяется условиями: ехр (2яі7а (X)) = Xt k ^ Re Ik (Я) < k -f-1. Построенный таким образом (для всех k, I, X) неупорядоченный набор из р, пар чисел называется набором спектральных пар критической точки ростка f. Неупорядоченный набор из р, первых чисел пар называется набором спектральных чисел (или спектром) критической точки. Ясно, что эти наборы не зависят от выбора слоя расслоений {gr* Fgrf W (/*)}.
Объясним, почему собственному числу X ставится в соответствие число п—1 — Ik (X), являющееся одним из значений деленного на 2зхі логарифма числа 1/Х. Согласно определению ходжевой фильтрации фактор-расслоение Fk (f*)/F"+1(/*) порождается значениями главных частей форм порядка, не большего чем п—1—k. Пусть со—форма, порядок которой принадлежит (п—2—k, п—1—?] и главная часть которой порождает ненулевое сечение в Fk (/*)/ /Fk+1(f*). Согласно лемме 1 это ненулевое сечение принадлежит корневому подпространству собственного числа X = ехр (—2ша (со)) действия полупростой части оператора монодромии. Выражая порядок формы со через X, получим п—1 — lk(X) = n—1—k—I0(X) = = а(со). Таким образом, п—1—Ik (Я)—это Наименьшее число а, для которого существуют формы порядка а, главные части которых порождают в Fk (f*)!Fk+1 (/*) корневое подпространство собственного числа X действия полупростой части оператора монодромии. При этом число а входит в спектр ровно столько раз, какова разность размерностей пространств главных частей форм порядка <% и форм порядка а—1. Вторые числа спектральных пар указывают, на каких уровнях весовой фильтрации возникают новые главные части. Например, при k = n—1
Fn'1 (f*)/Fn (/*) = Fn'1 (/*),
числа п—1—ln-i (X) принадлежат полуинтервалу (—1, 0]. Если Co1, ..., Coj—голоморфные дифференциальные п-формы неположительных порядков, главные части которых образуют базис сечений расслоения F"'1 (/*), то порядки этих форм составляют часть спектра, принадлежащую (—1, 0].
Обратим внимание на зависимость от собственного числа X второго числа в характеристической паре; см. (13). В определении весовой фильтрации на корневом^ подпространстве с собственным 272 ИНТЕГРАЛЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФОРМ. ПО ИСЧЕЗАЮЩИМ. ЦИКЛАМ [ГЛ. IIl
числом 1 индексы были увеличины на 1, чтобы выполнялось утверждение теоремы 3. Теперь в (13) индекс уменьшен на 1. Это уменьшение мотивируется простотой формулировок утверждений именно о таких числах. Например, см. указанные ниже симметрии б), в) спектральных пар.
В заключение приведем еще одно определение спектра.
Лемма 13 (см. [23, 22]). Пусть Oi1, ..., Coli—голоморфные дифференциальные п-формы на X. Предположим, что
1) сумма порядков этих форм равна р,(л/2—1),
2) функция
где б1( —, б№—базис ковариантно постоянных сечений гомологического расслоения Милнора, имеет при t = О нуль порядка р» (и—2). Тогда порядки a ((O1), ..., a ((H11) этих форм являются спектром критической точки 0 ростка f.
Доказательство легко вытекает из сравнения леммы 4, теоремы 12.1 о детерминанте и определений ходжевой фильтрации, спектра.
Следствие. Сумма спектральных чисел критической точки ростка f равна p. (п/2—1).
Отметим, что доказательство этого утверждения не использует теорему о смешанной структуре Ходжа.
Замечание. Из определения спектральных пар легко следует, что сумма всех вторых чисел спектральных пар равна р. (п—1).
Б. Числа Ходжа. Аналогично спектральным парам определяются числа Ходжа hk,m, hi,m. Через hfc т обозначается размерность корневого подпространства собственного числа X действия в слое расслоения grk F grk+mW (f*) полупростой части оператора монодромии. Через hk>т обозначается ранг расслоения grft F grA+w W (/*). По определению, hk' т = 2 т• Спектральные
x
пары и числа Ходжа hfrт взаимно определяют друг друга.
Пример 1. Пусть f==^+1. Тогда = /Ifc0 = I для X = =ехр (2яй/(ц4-1)), 1,..., р.; спектральные пары—(— &/(р,+ 1), 0), где 6=1, ..ц.
Пример 2. Пусть f = x?t + ... -\-х%. Тогда М"/»]. ["/2I =s = A(^i2)Btnyal = I; спектральная пара—(п/2—1, п—1).
В. Симметрии.
Лемма 14 (см. [221, 22]). Для любых k, т имеют место симметрии
j, I 1» •••» р.»
a) hl-m = h%k,
б) m = hl'1-n- "-1-6, если Хф\,
в) hf» т = h?-m- n~k. §13]_КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ИНТЕГРАЛОВ 290
Вывод леммы 14 из теоремы 3 см. в п. 14.2.
Переформулируем эти симметрии в терминах спектральных пар.
а) Число пар, равных (а, /), равно числу пар, равных (2п—3— —I—а, I) (ср. с примерами).
б), в) Число пар, равных (а, I), равно числу пар, равных (а+ + /—я+1, 2п—2—/).
Соотношения а) — в) описывают симметрии размерностей пространств главных частей форм фиксированного порядка, являющихся сечениями фиксированного расслоения весовой фильтрации (точнее, описывают симметрии приращений размерностей).
