Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сначала определим пересечения слоев подрасслоений {W^f*)} с корневыми подпространствами оператора монодромии, затем положим слои подрасслоений {W^*)} равными прямой сумме их пересечений с корневыми подпространствами.
Обозначим через Щ~г(Хь С) корневое подпространство собственного числа X оператора монодромии в Нп~г(Хи С). Обозначим через N логарифм унипотентной части оператора монодромии. N—нильпотентный оператор, коммутирующий с оператором монодромии и, значит, сохр аняющий его корневые подпространства.
Пусть Хф 1. Тогда в качестве весовой фильтрации на Hl~l (Xt,С) возьмем весовую фильтрацию оператора N с центральным индексом п—1. Пусть X=I. Тогда в качестве весовой фильтрации на Щ'1 (Xt, С) возьмем весовую фильтрацию оператора N с центральным индексом п. Положим слой над t расслоения W1 (f*) равным
Wu*=®Wt(Hl~*(Xt, С)). %
Перечислим очевидные следствия определения.
Л е м м а 9. 1. Весовая фильтрация — возрастающая последовательность аналитических подрасслоений когомологического расслоения Милнора.
2. Весовая фильтрация инвариантна относительно связности Гаусса — Манина (т. е. ковариантные производные сечений каждого подрасслоения принадлежат тому же подрасслоению).
3. Весовая фильтрация инвариантна относительно действия полупростой части оператора монодромии.
4. Для любого I ? Z и любой точки t ^S'
N(Wlti)C=Wi^t. §13] коэффициенты разложений в ряд интегралов 282
Более того, если то
N1: grn-i+i W (Hr1)t — grn-i.tW (Hr1)t
— изоморфизм, если X = 1, то
N1: grn+l W (Hr1)t — grn_tW (Hr1)t
— изоморфизм.
Доказательство очевидно.
Сформулируем еще одно свойство весовой фильтрации. Напомним, что в слоях когомологического расслоения Милнора имеете« инвариантная относительно связности Гаусса—Манина операция комплексного сопряжения: пространство Hn'1 (Xt, С) есть ком-плексификация естественного образа в Hn'1 (Xt, С) пространства Hn'1 (Xt, R). Более того, в слоях имеется инвариантная относительно связности Гаусса—Манина целочисленная структура—ре-шетка в H"~1(Xt, С), являющаяся естественным образом в Hn-^Xt, С) группы H»-*(Xt, Z).
Лемма 10. Для любого I (Е Z слои под расслоения W1Q*) инвариантны относительно сопряжения. Более того, в координатах, связанных с базисом целочисленной решетки, слой под расслоения-W1 (f*) может быть задан уравнениями с целыми коэффициентами.
Доказательство легко следует из определения весовой фильтрации.
Пример 1. Пусть f = X11+1. Собственные числа оператора-, монодромии—это ехр (2яг?/(р,+1)), &= 1, ...,р.. Поэтому
{0} = W^1CiWll = H0.
Пример 2. Пусть f = xf-f- ... -\-х%. (—1)"—единственное-собственное число оператора монодромии. Поэтому
! {0} = W4nm-I <=W4„m = Hn-K
Пример 3. Предположим, что оператор монодромии в кого-мологиях, исчезающих в критической точке голоморфной функции. 1% переменных, имеет конечный порядок (например, это так для критической точки (полу)квазиоднородной функции). Тогда
{0} = Wn^czW ^1Cz Wn = Н*-\ где W^1= © нг1.
Замечание 1. Указанная в определении весовой фильтрации зависимость центрального индекса фильтрации от собственного числа оператора монодромии мотивируется формулируемой ниже теоремой о смешанной структуре Ходжа. Центральный индекс выбирается так, чтобы весовая фильтрация вместе с ходжевой фильтрацией составляли смешанную структуру Ходжа.
Замечание 2. Согласно теореме 3.12 размер жордановых. клеток оператора монодромии критической точки функции tv- 266 интегралы голоморфных форм. по исчезающим. циклам [гл. iil
переменных не больше п. Поэтому а priori
{О } = г) CW0(Jfi^i) с:. . + і.
{0} = W0 (Hr1)CW1 (Hr1)C. - -CW2n., (Hr1) = Hr1.
Однако, согласно формулируемой ниже теореме о смешанной структуре Ходжа, размер жордановых клеток с собственным числом 1 не больше п—1. Поэтому W1(Hr1) = W, W2n_2 (НГ1) =
-111 J w 2 л —2-11
Г. Взаимное расположение весовой и ходже-вой фильтраций (элементарные свойства).
Лемма 11. Для любых k, I ? Z пересечение пространств Fk, W1 вместе с проекцией на базу образует голоморфное подрасслоение
F*nWt(f*): Fk П Wt 5'
когомологического расслоения Милнора критической точки ростка f.
Доказательство. Достаточно доказать, что все слои проекции Fk Л W1—»-S' имеют равные размерности. Поскольку подрасслоение Fk ($*) порождается главными частями форм с заданными весами, достаточно доказать, что значения главной части произвольной формы принадлежат или не принадлежат W1 одновременно для всех точек базы (см. п. 2 леммы 3). Докажем это. Согласно формуле (4) на стр. 255 значение главной части Smax [<э](0 в точке t g S' принадлежит W1 тогда и только тогда, когда вектор Aft а ((й) (і) принадлежит W1. Этот вектор принадлежит W1 тогда и только тогда, когда сечение a((u) является сечением подрасслоения Wt(f*), что и требовалось доказать. Для любого I обозначим через
фактор-расслоение подрасслоений Wl(Jm), W^iQ*), его слои — факторпространства QlWi = Wlt t/^г-і, и ГДе t^S'. Расслоение SfiW (f*) обладает индуцированной связностью Гаусса—Манина в силу п. 2 леммы 9. В слоях расслоения grf W (/*) заданы вещественная и целочисленная структура (в силу леммы 10) и действие полупростой части оператора монодромии (в силу п. 3 леммы 9).
