Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
\I2\ > 2а1.
Положим
52 = {Ia \ Iaf| I2 = 0}
и продолжим этот процесс по индукции. Так мы получим, что либо на некоторм шаге
E С U Ij ,Ij-П Ii = 0,
1<j<n
либо мы получим счетное множество отрезков {Ij \ 1 < j < то} и счетное множество {Sj \ 1 < j < 00} подсемейств семейства S0, которые удовлетворяют условиям:
V(j > 0): Sj+1 С Sj, Є Sj, Є Sj+1,
V(i = j) : Ij f| Ii = 0 , > 2 sup{\Ia\ \ Ia Є Sj} (1.192)
Пусть
X Є E \ (J Ij.
1 < j< n
Если
б < dist(x , Ij),
1 < j< n
91
то по условию
3(I (x ,б)): x Є I (x ,б) ,I (x,e)[) (J Ij = 0.
1<j<n
Так как отрезки Ij не пересекаются, то
Y |Ij |< b - a
1< j<oo
поэтому
lim ^ | = 0.
j *оо
Но отсюда в силу (1,192) следует, что
lim SUp{|Ia| | Ia Є Sn} = 0.
n—оо
Следовательно,
3(m > n) : I(x, б) Є Sm-i , I(x , б) Є Sm. Это соотношение выполнено только в том случае, если
I (x,6)(] Im = 0 , 2|Im| > ^ (x,6)1 (1.193)
Каждому отрезку Ij = [aj , ?j] поставим в соответствие отрезок Tj = [3ctj - 2?j , 3?j - 2aj] D [aj , ?j]. Вообще говоря, Tj Є So. Из (1.193)
следует, что
I(x , б) С Tm.
Следовательно,
E \ U Ij С (J Tm,
1<j<n m>n
поэтому
|E \ \J Ij Ці <Y |Tm| = 5 Y Hm| -> 0 , П — OO.
1<j<n m>n m>n
Теорема доказана. Так как
|E ^ut < ^ \ \J Ij Unt + ^ | Ij |,
1 < j< n 1 < j< n
то из теоремы 1.2.17 вытекает
92
Следствие 1.2.5. Если выполнены условия теоремы 1.2.17, то найдутся такие удовлетворяющие условиям теоремы 1.2.17 отрезки Ij, что
V(e> 0) , Згс(б):(1 - U < Y |IjI-
1<j<n(e)
Пусть
f Є L([a,b]) ,F (x) := j * f (t)dt,
J a
V(x Є (a , b)) : M(f I x) := limsup |h-1(F(x + h) - F(x))\ (1.194)
Теорема 1.2.18. Множество
E(f I a) := {x I M(f \ x) > a}
измеримо U
\E(f I a)\ < -I If (x)dx. (1.195)
aa
Доказательство. Положим
A(m , n , a) = [j {x I Ih— 1 (F(x + h) - F(x))\ >a + 1/m}.
0<h<1/n
Так как функция
x і-» \h—1(F(x + h) - F(x))\
A( m , n , a) жеств и открыто. Поэтому множество
E(f \ a) = A(m, n , a)
m>0 n>0
борелевское и, следовательно, измеримо. Если
x Є E(f \ a),
то существует такая последовательность {hj(x) \ 1 < j < то}, что x + hj(x) Є (a, b) , Vj : \h——1(x)(F(x + hj(x)) - F(x))\ > a.
Следовательно, отрезки
Ij (x) = {[x - I hj (x) I , x + \hj (x)\] I x Є (a , b) , 1 < j < то}
93
покрывают в смысле Витали множество E(f \ a). Пусть {Ij(xj) \ 1 < j < n(e)} -такие отрезки из этого покрытия, что
(1 - 6)\E(f \ a) < E \Ij(Xj)\ = 2 E \hj(Xj)\.
1<j<n(e) 1<j<n(e)
Так как отрезки Ij (xj) не пересекаются, то
Г \f (t)\dt > E \F(Xj + hj(Xj)) - F(Xj)\> a E \hj(Xj)\.
1<j'<n(e) 1<j<n(e)
Следовательно,
2 j \f (t)\dt> (1 - (f \ a).
a
б
зана.
Теорема 1.2.19. Если f Є ?([а, Ъ]) и
F(x) := IX f (t)dt,
a
F
dF(X)
и.о. : — = f(x).
Доказательство. Будем считать, что
\f (t)\dt =1.
Из леммы 1.1.12 следует, что существует такая последовательность непрерывных функций {фп} С C([а, Ъ]),что
Vn : T\f (t) - 0n(t)\dt<n"4.
a
Положим
(x) = f (x) - Фп(х),
An = {x \ M(^n \ x) > n-2},
94
Из теоремы 1,2,18 следует, что множество An измеримо и
|An| < n22 [ ^(t^dt < 2n-2.
a
Из неравенства Чебышева (см, стр. 66) следует, что
|Bn| < n2 Ц)п(Ь)№
a
Положим
Q := П U (An[J Bn).
1<k<oo k<n< оо
Q
Vk : |Q| < ^ L_J (An[J Bn)| < + BD <
k<n<oo k<n<oo
O(l/k) — 0 ,k — oo. | Q| = 0
Пусть
x Є E = [a,b] \ Q.
Тогда
3k : x Є (J (An\J Bn). (1.196)
k< n< o
Имеем:
r-x+h
(V(n > k): x Є An) == (V(n > k) : limsup |h-1 / t/j^d^ < n-2).
h— o x
Следовательно,
V(n > k,t> 0) , 351(n ,б), V(0 <h<51(n, б)) :
r-x+h
|h-1 / //n^d^ < n-2. (1.197)
x
Заметим, что из (1.196) следует, что
V(n > k) : x Є Bn,
поэтому
V(n > k) , : ^(x^ < n-2, (1.198)
95
Наконец заметим, что так как функции фп^) непрерывны, то V(n , б , x) , 352(n , б , x) , V(0 < | h| < 52(n , б , x)) :
x+h
|h-1 / фп(^ - фп^)К б. (1.199)
x
Имеем:
|h-1(F(x + h) - F(x)) - f (x^ = |h-1 f (t)dt - f (x^ <
x
x+h x+h
|h-1 / Фп^Щ + ^-1 фп(^ - фп^+
xx ^n(x) - f (x^ < n-2 + б + n-2,
если
0 < |h| < mln(51(n , б), 52(n , б , x)).
Так как n -произвольное достаточно большое число, а б -произвольное достаточно малое число, то теорема доказана.
Следствие 1.2.6. Абсолютно непрерывная функция, дифференцируема, почти всюду.
96
1.3 Коментарии и литературные указания.
Мы предполагаем, что читатель знаком е теорией множеств в объеме курса анализа для технических вузов или нескольких первых глав книг [1, 2]. Для дальнейшего ознакомления с теорией множеств можно рекомендовать книгу [3].
Для большинства рассматриваемых нами приложений достаточно знания следующих тем: определение интеграла, теорема Лебега о предельном переходе в интеграле , теорема Рисса-Фишера о полноте пространства IJ'. неравенства Гельдера и Минковского. Эти темы изложены в параграфе, посвященном интегралу Лебега. Изучением этого параграфа можно ограничиться при первом чтении. Однако знание теории меры необходимо для изучения математических моделей теории рассеяния, теории теплового равновесия классических и квантовых систем, теории неравновесных квантовых систем, броуновского движения и многих других задач математической физики, поэтому мы считаем, что знакомство с основами теории меры желательно для специалиста по математической физике.
