Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
мы Benno Леви функция
y — lim fn(x , y) = f (x , y) Є L+(K2), n—oo
и справедливо равенство
lim / fn(x,y)/( ,dy)= f(x,y)/( , dy).
n—o
Теорема доказана.
1.2.7 Разложение Лебега и теорема Радона-Никодима.
Пусть на а-алгебре A заданы две меры Tn1Vi. тп2.
Определение 1.2.16. Мера Tn1 называется сингулярной относительно меры m2, если существует такое множество B Є A, что
TT2(B ) = Ta1 (C(B )) = 0. (1.148)
Легко видеть, что условие (1.148) эквивалентно условию
TT2(B) = 0 и V(A Є A) : TT1(A) = Ti1(A^]B), (1.149)
T 1 T 2 T 2
T1
Рассмотрим пример. Пусть Ct (t) , t Є [0, 1] -функция Кантора. Эта функция монотонно не убывает и непрерывна, и поэтому (см. пример 1.1.8) на а-алгебре A борелевских подмножеств отрезка [0 , 1] она порождает меру Tuet, которая на каждом открытом интервале (а, ?) С [0 , 1] принимает значение
TiCt(а, ?) = Ct(?) - Сt(a).
72
На этой же алгебре А борелевских множеств отрезка [0, 1] рассмотрим меру Лебега
mi (а, ?) = ? — а.
Ясно, что
V(A єА): mCt (A)= met (Af|P),
и так как мера Лебега множества P равна нулю, то меры met и мера Лебега сингулярны.
Пусть на некоторой а-алгебре А заданы две меры Л и ?.
Определение 1.2.17. Мера Л называется абсолютно непрерывной относительно меры ?, если из того, что ?(A) = 0 следует, что Л(А) = 0.
Если и(x) є L?(X) , uj(x) > 0, то формула
V(A є А) : Л(А) = j 1(A | x)u(x) ?(dx) (1.150)
задает меру, которая является абсолютно непрерывной относительно ме-?
такой вид.
Лемма 1.2.12. Пусть на некоторой а-алгебре А подмножеств множества X заданы две меры Л и ?. Тогда пространство X есть объединение трех принадлежащих а-алгебре А непересекающихся множеств
X = X0,A X0,? X\,?,
причем,
Л^х) = ?(Xo,?) = 0, (1.151)
а на пространстве Xx>? определена такая измеримая относительно а-А u ( x)
V(A с Xx>? ,A є А): Л^) = j 1(A | x)u(x) ?(dx). (1.152)
Доказательство. Положим
V(m є А) : V(m) = Л(ш) + ?(m).
Рассмотрим действительное гильбертово пространство (X) со скалярным произведением
< f , 9>= I f(x)g(x) V(dx). 73
В этом гильбертовом пространстве определим линейный функционал
I : Ll(X) э / — I(/) = j /(x) X(dx). Функционал I непрерывен, так как
)1 <( 11 X(dx)) 1 ( I / 2(x) \(dx)) 1Kf f / 2(x) V (dx) 1
По теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала
L2l(X)
/0(x)
V(/ Є Ll (X)): I(/) =</о ,/>.
Следовательно,
V(/ Є Ll(X)) : j /(x) X(dx) = j /(x)/o(x) v(dx) =
J /(x)/o(x) \(dx) + j /(x)/o(x) ?(dx). (1.153)
Так как
V(/ > 0) : I(/) > 0,
то из (1.153) следует, что
п.в. mod(v) : /0(x) > 0. Из (1.153) следует равенство
V(/ Є Ll(X)): J/(x)(l - /0(x)) \(dx) = j/(x)/0(x) ?(dx) > 0, (1.154) Пусть
A, = {x | /0(x) > 1 + є}.
Подставив в (1.154)
/(x) = I(Ae | x),
мы получим:
X(A,) = fj,(Ae) = 0,
поэтому
п.в. mod(v) : 1 — /0(x) > 0. 74
Определим множества
X0,a = {x | /0(x) = 0}, (1.155)
Xo,? = {x | Ш = 1}, (1.156)
Xx^ = {x | 0 </0(x) < 1}. (1.157)
Очевидны равенства
V(A C X0>x) : X(A) = 0; V(A C X0>fl) : ?(A) = 0. (1.158) Положим в (1.154)
/(x) = /n(x) = I(A | x) min(n , (1 — , A C XXt?.
Получим:
J I(A | x)(l — Mx)) min(n , (1 — Mx))-1) X(dx) =
j I(A | x) min(n , (1 — /0(x))-1)/0(x) ?(dx). (1.159)
Ho
VA C Xa_^b. mod(v) :
I(A | x)(l — Mx))min(n, (1 — Mx))-1) У I(A | x), поэтому из (1.159) следует, что
V(A C XXt?) : u(x) := I(A | x)(l — Mx))-1 Mx) Є L?(X)
и
V(A C Xx>fl) : X(A) = j I(A | x)u(x) ?(dx).
В силу симметрии между мерами X и ? аналогичное утверждение справедливо и для меры //. Лемма доказана.
Пусть на а-алгебре A заданы две меры X и ?. Воспользуемся обозначениями предыдущей леммы и определим меры
X±n: A — X±n(A) = X(Af)X0,^), (1.160)
Xw11: A — Xw11 (A) = [ I(A | x)I(Xx>fl | x)u(x) ?(dx). (1.161)
Ясно, что мера X±? сингулярна относительно меры ?, а мера Xy? абсо-
?.
75
следует
Теорема 1.2.7. Если на а-алгебре A заданы две меры Л и ?, то справедливо разложение
V(A є A) : Л(А) = Лцм(А) + Л±,(A), (1.162)
где мера Лцм абсолютно непрерывна относительно меры ?, а мера Л±^ сингулярна относительно меры ?.
Представление меры в виде (1.162) называется разложением, Лебега, (Лебег открыл эту формулу).
Из леммы 1.2.12 и разложения Лебега следует теорема Радона-Никодима.
Л
ры, ?, то существует такая функция uj(x) є L?(X), что
V(A є A) : Л(Л) = j I(A | x)u(x) ?(dx). (1.163)
Л
?
дается формулой (1.161), что и доказывает теорему.
1.2.8 Счетно-аддитивные функции множеств и теорема Хана.
Определение 1.2.18. Определенная на а-алгебре A подмножеств мно-X?
? : A — R1
называется счетно-аддитивной, если
?(0) = 0
и если для любого счетного семейства непересекающихся множеств {Aj} выполнено равенство
V((j = k) (Aj f| Afc = 0)) : ?( J Aj) = Y ?(Aj), .
i<j<oo 1<г<оо
В отличии от меры, счетно-аддитивная функция множеств может принимать отрицательные значения. Иногда рассматривают и такие счетно-аддитивные функции множеств, которые могут принимать бесконечные значения. Мы не будем рассматривать такие функции и будем считать, что
V(A є A) : |?(A)| < то.
Изучение счетно-аддитивных функций множеств сводится к изучению мер, и это утверждение есть содержание следующей теоремы Хана.
