Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема доказана.
В дальнейшем, иногда не оговаривая это специально, мы будем считать все метрические пространства полными, так всегда мы можем предполагать, что уже перешли к пополнению рассматриваемого пространства.
2.1.3 Принцип сжимающих отображений.
Определение 2.1.9. Отображение
A: M — M (2.20)
105
метрического пространства в себя называется строго сжимающим, если существует такая константа а < 1, что
V(x Є M , y Є M) : d(A(x) , A(y)) < ad(x , y). (2.21)
Замечание. Раньше удовлетворяющие условию (2.21) отображения назывались сжимающими. Теперь в некоторых работах сжимающими отображениями называются такие отображения, которые удовлетворяют условию (2.21) при а < 1.
Определение 2.1.10. Точка xo Є M называется неподвижной точкой отображения (2.20), если
xo = A(xo). (2.22)
Теорема 2.1.2. Строго сжимающее отображение в полном метрическом пространстве имеет неподвижную точку и эта неподвижная точка единственна.
Доказательство. Сначала докажем существование неподвижной точки. Пусть xi -произвольный элемент пространства M. Построим последовательность {xn} по правилу
x„+i = A(xn). (2.23)
По индукции легко доказывается, что при n > 1 справедлива оценка
d(xn+i, xn) < an-1d(A(xi), xi),
из которой следует, что
d(xn+m , xn) < d(xn+m , xn+m— i) + d(xn+m—i , xn+m—2) + . . .
а
n— i
< an—i(1 + ... + am—i)d(A(xi), xi) <-гd(A(xi), xi).
(1 - a)
(2.24)
{ x n}
и поэтому имеет предел. Положим по определению
x0 := lim xn.
n—>oo
Справедлива оценка
d(A(xn), A(x0)) < d(xn , x0) — 0, n —> oo,
106
поэтому переходя к пределу в (2,23), мы получим равенство (2,22), Если x0 также удовлетворяет уравнению (2,22), то
d(x0 , x0) = d(A(xo), A(x0)) < ad(x0 , x'0),
откуда следует, что
d(xo , x0) = 0.
Теорема доказана.
Замечание. Алгоритм (2.23) называется методом последовательных приближений и часто используется на практике. Переходя к пределу m оо в (2.24), мы получаем оценку
d(xn , x0) < const.an,
из которой следует, что метод последовательных приближений сходится экспоненциально.
Рассмотрим пример. Пусть K(x , y , z) -определенная на множестве [а , b] X [а , b] X R1 функция, которая удовлетворяет условиям:
1. K (x , y,z) Є C ([а ,b] X [a,b] X R1),
2. dz K (x ,y,z) Є C ([a , b] x [a , b] x R1),
2. sup{(|K(x , y , z)| + |ozK(x , y , z)| | x , y , z Є R1} = const. < о.
Пусть z0(x) Є C([a , b]) -заданная функция. Рассмотрим интегральное
z(x)
z(x) = zo(x) + fi K(x , y , z(y)) dy. (2.25)
J a
Для доказательства существования решения уравнения (2.25) в пространстве C([a, b]) с метрикой (2.7) рассмотрим оператор
A(z)(x) = zo(x)+ ?( K (x,y,z(y)) dy. (2.26)
a
Этот оператор корректно определен, так как при z(x) Є C([a , b]) правая часть (2.26) принадлежит пространству C([a, b]). Далее имеем оценку
d(A(z1), A(z2))
< Ыsup{ |K(x, y, z1(y)) - K(x, y, M^dy | x Є [a,b\}
a
< const^Hb — a^(z1, z2),
из которой следует, что при const.^Hb — a| < 1 оператор (2.26) является строго сжимающим и поэтому уравнение (2.25) имеет единственное решение, которое может быть получено методом последовательных приближений.
107
2.2 Топологические пространства.
2.2.1 Определение топологического пространства.
Определение 2.2.1. Топология на множестве .Y --по і акая сие тема T подмножеств множества X, которая удовлетворяет условиям:
1, Пустое множество и все пространство принадлежат системе T:
0 Є T ,X Є T.
2, Любое объединение множеств из системы T принадлежит системе T:
Aa Є T : (J Aa Є T.
a
T
T
Aj Є T : Г| Aj є Г. (2.27)
i<j<W
Ясно, что в (2.27) было бы достаточно потребовать, чтобы пересече-
TT
T
T
T
Множество X вместе с определенной на нем топологией T называется
T
X
вается и наука, которая изучает топологические пространства.
Определение 2.2.3. В топологическом пространстве (X , T) множество B С X называется окрестностью множества A С X, если существует такое открытое можество O Є T, что
A с O с B.
Открытое множество является окрестностью каждой своей точки.
X
X
X
Антидискретной топологией называется топология, которая состоит из двух множеств: 0 , X. В антидискретной топологии открыты только два множества 0 ,Xh других открытых множеств нет.
108
Определение 2.2.4. Подмножество A С M метрического пространства (M , d) открыто, если либо A = 0, либо для любой точки x0 Є A множества A существует шар b(x0 , є) с центром в этой точке, который содер-A
Лемма 2.2.1. Пересечение любых двух открытых в смысле определения (2,2,4) множеств открыто.
Доказательство. Пусть A1 , A2 открытые в смысле определения (2,2,4) подмножества метрического пространства (M , d). Если Af)B = 0, то A Pl B открыто то определению. Если Af\B = 0 и x0 Є A1Q A2, то
тогда
3(b(x0 , є1) С A1 , b(x0 , є2) С A2),
поэтому
(є < min(t1, 62)) = (b(x0 ,є) С A1 pi A2). A1 A2
(2.2.4).
Следствие 2.2.1. Пусть O -система подмножеств метрического про-M
система T = {0 , M , O} задает топологию на M.
Определение 2.2.5. Топология T = {0 , M , O}, где O -система открытых в смысле определения (2.2.4) подмножеств метрического про-M
